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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein Diffeomorphismus um [mm] \vektor{0\\ 0 \\0} [/mm] ist:
[mm] f:\IR^{3}\to SL_{2}(\IR)
[/mm]
[mm] \vektor{x\\y\\z}\mapsto\pmat{ 1 & 0 \\ z & 1 }*\pmat{ exp(x) & 0 \\ 0 & exp(-x) }*\pmat{ 1 & y \\ 0 & 1 } [/mm] |
Heyho!
Ich denke, dass man hierbei wohl den Satz über die inverse Funktion verwenden muss. Ist [mm] T_{\vec{0}}(f) [/mm] invertierbar, so gilt das nach diesem doch...
Aber wie zeig ich bloß, dass [mm] T_{\vec{0}}(f) [/mm] ein Isomorphismus ist???
Warum ist die Dimension von [mm] T_{\E_{2} }(SL_{2}(\IR)) [/mm] überhaupt 3? Dann müsste ich ja nur noch Injektivität oder Surjektivität zeigen...
Ich hab sowieso noch nicht so ganz die Definition der Ableitung verstanden...
[mm] (T_{\vec{0}}(f))(\delta)=(g\mapsto \delta(g\circ [/mm] f))
Oder könnte man vielleicht auch konkret nachrechnen, ob f ein lokaler Diffeomorphismus ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 08.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein
> Diffeomorphismus um [mm]\vektor{0\\ 0 \\0}[/mm] ist:
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> [mm]f:\IR^{3}\to SL_{2}(\IR)[/mm]
> [mm]\vektor{x\\y\\z}\mapsto\pmat{ 1 & 0 \\ z & 1 }*\pmat{ exp(x) & 0 \\ 0 & exp(-x) }*\pmat{ 1 & y \\ 0 & 1 }[/mm]
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> Heyho!
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> Ich denke, dass man hierbei wohl den Satz über die inverse
> Funktion verwenden muss. Ist [mm]T_{\vec{0}}(f)[/mm] invertierbar,
> so gilt das nach diesem doch...
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> Aber wie zeig ich bloß, dass [mm]T_{\vec{0}}(f)[/mm] ein
> Isomorphismus ist???
> Warum ist die Dimension von [mm]T_{\E_{2} }(SL_{2}(\IR))[/mm]
> überhaupt 3? Dann müsste ich ja nur noch Injektivität
> oder Surjektivität zeigen...
Mit wievielen reellen Parametern kannst du ein Element von [mm] $SL_{2}(\IR)$ [/mm] beschreiben? Welche Dimension hat also der Tangentialraum von [mm] $SL_{2}(\IR)$ [/mm] ?
Ich weiss allerdings nicht, welches Objekt du mit [mm]T_{\E_{2} }(SL_{2}(\IR))[/mm] meinst.
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> Ich hab sowieso noch nicht so ganz die Definition der
> Ableitung verstanden...
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> [mm](T_{\vec{0}}(f))(\delta)=(g\mapsto \delta(g\circ f))[/mm]
[mm] $\delta$ [/mm] ist eine Derivation, g eine Funktion auf der Zielmannigfaltigkeit (hier: [mm] $SL_{2}(\IR)$). [/mm] Die Derivationen bilden den Tangentialraum des Punktes 0, daher ist [mm] $T_{\vec{0}}(f)$ [/mm] eine Abbildung von diesem Tangentialraum in den Tangentialraum von [mm] $SL_{2}(\IR)$ [/mm] am Punkt $f(0)$.
Einfacher: sei [mm] $\gamma$ [/mm] eine glatte Kurve in [mm] $\IR^3$ [/mm] durch 0. Dann ist [mm] $f\circ \gamma$ [/mm] eine Kurve in [mm] $SL_{2}(\IR) [/mm] $ durch $f(0)$ (zumindest wenn f ein Diffeomorphismus ist). Dann ist [mm] $\delta(g)= (g\circ \gamma)'(0) [/mm] $.
Fasse ich [mm] $\gamma'(0)$ [/mm] als Tangentialvektor auf, dann ist
[mm] (T_{\vec{0}}(f)) (\gamma'(0)) = (f\circ \gamma)' (0) [/mm]
der zugehörige Tangentialvektor der Kurve [mm] $f\circ \gamma$ [/mm] im Punkt $f(0)$.
Viele Grüße
Rainer
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