Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 01.10.2009 | | Autor: | Takeela |
| Aufgabe | | Eine [mm] C^{\infty}-Abbildung f:\IR^{2} \rightarrow \IR^{2} [/mm] erfülle f(h,0) = (cos(h),sin(h)) und f(0,h)=(1+h,h) [mm] \forall [/mm] h [mm] \in \IR. [/mm] Beweise in einer Zeile, dass f bei (0,0) ein lokaler Diffeomorphismus ist. |
Guten Abend,
ich habe folgenden Vorschlag zu dieser Aufgabe:
Es folgt nach Voraussetzung f(x,y)=(cos(x)+y,sin(x)+y). Hieraus ergibt sich für [mm] df_{(x, y)}:
[/mm]
[mm] df_{(x, y)} [/mm] = [mm] \pmat{ -sin(x) & 1 \\ cos(x) & 1 }
[/mm]
[mm] det(df_{(0 0)}) [/mm] = [mm] det\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] = -1 [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \rightarrow [/mm] es ex. eine offene Umgebung U von (0,0), sodass [mm] df_{(0,0)} [/mm] ein Isomorphismus ist [mm] \rightarrow [/mm] f ist ein lokaler Diffeomorphismus.
Ist das korrekt ausgeführt? Gibt es unter Umständen noch weitere Lösungsmethoden? Ich frage, weil ich relativ lang über die Aufgabe nachgedacht habe und nicht sicher bin, ob ich den Schritt von f(h,0), f(0,h) nach f(x,y) so einfach machen darf.
Herzlichen Dank im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Do 01.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Eine [mm]C^{\infty}-Abbildung f:\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}[/mm]
> erfülle f(h,0) = (cos(h),sin(h)) und f(0,h)=(1+h,h)
> [mm]\forall[/mm] h [mm]\in \IR.[/mm] Beweise in einer Zeile, dass f bei
> (0,0) ein lokaler Diffeomorphismus ist.
> Guten Abend,
>
> ich habe folgenden Vorschlag zu dieser Aufgabe:
>
> Es folgt nach Voraussetzung f(x,y)=(cos(x)+y,sin(x)+y).
Das kannst du nicht folgern, es könnte ja auch $f(x,y)=(cos(x)+y+xy,sin(x)+y-xy)$ sein.
> Hieraus ergibt sich für [mm]df_{(x, y)}:[/mm]
>
> [mm]df_{(x, y)}[/mm] = [mm]\pmat{ -sin(x) & 1 \\ cos(x) & 1 }[/mm]
Dann folgt das auch nicht.
Aber: es gilt nach Definition der partiellen Ableitungen, dass
[mm] df_{(0 0)} = \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm],
sodass
> [mm]det(df_{(0 0)})[/mm] = [mm]det\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] = -1 [mm]\not=[/mm] 0
> [mm]\rightarrow[/mm] es ex. eine offene Umgebung U von (0,0), sodass
> [mm]df_{(0,0)}[/mm] ein Isomorphismus ist [mm]\rightarrow[/mm] f ist ein
> lokaler Diffeomorphismus.
Ich würde es etwas anders schreiben: Da [mm] $df_{(0 0)}$ [/mm] invertierbar ist, existiert in U nach dem Satz über die inverse Funktion die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] und ist stetig diff'bar.
Viele Grüße
Rainer
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