Diffbarkeit => Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 So 30.06.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | Sei F : U [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung einer o enen Teilmenge U eines Banachraums (X; || . [mm] ||_x) [/mm] in einen Banachraum (Y; || . [mm] ||_y) [/mm] . Ausserdem sei [mm] a\in [/mm] U gegeben
Beweisen Sie, dass eine in a total differenzierbare Abbildung auch in a stetig ist. |
Hallo,
ich habe mich bereits daran versucht, bin mir aber nicht ganz sicher, ob das so richtig ist.
Sei f differenzierbar in a, d.h. [mm] \exists A\in [/mm] Hom(X,Y) : [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)-f(a)-A(x-a)}{||x-a||}=0
[/mm]
Nun gilt: [mm] ||f(x)-f(a)||=||f(x)-f(a)-A(x-a)+A(x-a)||\le \bruch{||f(x)-f(a)-A(x-a)||}{||x-a||}||x-a|| [/mm] + ||A(x-a)|| [mm] \to [/mm] 0+0=0 für x [mm] \to [/mm] a
[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)
[/mm]
Kann man das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 So 30.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei F : U [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung einer o enen Teilmenge U
> eines Banachraums (X; || . [mm]||_x)[/mm] in einen Banachraum (Y; ||
> . [mm]||_y)[/mm] . Ausserdem sei [mm]a\in[/mm] U gegeben
> Beweisen Sie, dass eine in a total differenzierbare
> Abbildung auch in a stetig ist.
> Hallo,
> ich habe mich bereits daran versucht, bin mir aber nicht
> ganz sicher, ob das so richtig ist.
>
> Sei f differenzierbar in a, d.h. [mm]\exists A\in[/mm] Hom(X,Y) :
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)-f(a)-A(x-a)}{||x-a||}=0[/mm]
>
> Nun gilt: [mm]||f(x)-f(a)||=||f(x)-f(a)-A(x-a)+A(x-a)||\le \bruch{||f(x)-f(a)-A(x-a)||}{||x-a||}||x-a||[/mm]
> + ||A(x-a)|| [mm]\to[/mm] 0+0=0 für x [mm]\to[/mm] a
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)[/mm]
>
> Kann man das so machen?
Ja
FRED
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