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Schon seit Tagen quält mich eine Aufgabe, ich brauche Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Es seien [mm] m\in\IN, A\subset\IK, [/mm] so dass jeder Punkt von A ein Häufingspunkt von A ist, f : A [mm] \rightarrow\IK^{m} [/mm] mit f = [mm] (f_1, [/mm] ..., [mm] f_m) [/mm] und [mm] x_0 \in [/mm] A.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) f ist differenzierbar in [mm] x_0.
[/mm]
(b) [mm] f_j [/mm] ist differenzierbar in [mm] x_0 [/mm] für jedes j [mm] \in [/mm] {1,...,m}.
In diesem Fall ist [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] (f'_1(x_0), [/mm] ..., [mm] f'_m(x_0)).
[/mm]
Für diesen Beweis muss man einen Satz über die Ableitungsregeln anwenden:
f : A [mm] \rightarrow [/mm] E diff'bar an [mm] x_0 [/mm] und T : E [mm] \rightarrow [/mm] F ist [mm] \IC [/mm] - linear, sodass C [mm] \ge [/mm] 1 existiert mit
[mm] ||T(x)||_F \le C||x||_F, [/mm] so ist auch T°f diff'bar an [mm] x_0 [/mm] und es gilt:
[mm] (T°f)'(x_0) [/mm] = [mm] T(f'(x_0))
[/mm]
Ist A [mm] \subset \IR, [/mm] so reicht es T als [mm] \IR [/mm] - linear vorauszusetzen
Also, wie ich verstanden habe, diese T - Funktion ist als eine Projektion von f(aus der Aufgabe) auf irgendeine [mm] f_j [/mm] - Funktion zu betrachten.
Ich kann auch sagen, dass wenn f diff'bar ist, dann ist diese Funktion stetig, und die Ableitung ist auch stetig...
Weiter habe ich keine Ahnung...
Danke im voraus...
electraZ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 13.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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