Die optimale Dose < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Hallo =)
Ich soll ausrechnen, wie man eine optimale Dose bestimmen kann. Also maximales Volumen bei minimaler Oberfläche.
Das Volumen ist vorgegeben nämlich 1 also:
V=1
Ich habe folgende Gleichungen zum Ausrechnen des Volumens und der Oberfläche erstellt:
I: [mm] V=\pi [/mm] r²h =1
II: [mm] A=2\pi r²+2\pi [/mm] rh
Das müsste korrekt sein.
Dann habe ich I nach h umgestellt um es dann in II einsetzen zukönnen.
[mm] h=\bruch{1}{\pi r²}
[/mm]
Das habe ich in II eingestzt:
A=2 [mm] \pi r²+2\pi [/mm] r [mm] (\bruch{1}{\pi r²})
[/mm]
A=2 [mm] \pi r²+\bruch{2}{r}
[/mm]
Wenn das korrekt sein sollte, dann weiß ich jetzt leider nicht was ich machen soll. Ich könnte ja eigentlich r ausrechnen und dann in eine Gleichung einsetzen, aber ist das richtig?
Vielen Dank
Yujean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast
$A(r)=2 [mm] \pi r²+\bruch{2}{r} [/mm] $
Bestimme r so, dass A(r) minimal wird (bestimme also den Tiefpunkt von A)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Das heißt Ableitung bilden.
Aber was passiert mit dem Bruch? Fällt der einfach weg?
bleibt also:
A'(r)= [mm] 4\pi [/mm] r
über?
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Hallo Yujean!
Nein, der Bruch fällt natürlich nicht weg. Schreibe hier um:
[mm] $$\bruch{2}{r} [/mm] \ = \ [mm] 2*r^{-1}$$
[/mm]
Nun mittels  Potenzregel ableiten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Ok habe das raus:
A'(r)= [mm] 4\pi r-2r^{-2}=0
[/mm]
Wenn das richtig ist stellt sich mir die Frage wie ich nun nach r umstelle, mich verunsichert die [mm] r^{-2} [/mm] ein wenig.=P
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Hallo,
[mm] 0=4*\pi*r-\bruch{2}{r^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{r^{2}}=4*\pi*r
[/mm]
[mm] \bruch{1}{r^{2}}=2*\pi*r
[/mm]
[mm] r^{3}=\bruch{1}{2*\pi}
[/mm]
r= ....
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mo 16.03.2009 | | Autor: | Yujean |
Das wäre dann wohl die
[mm] r=\wurzel[3]{\bruch{1}{\pi*2}}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0.542
Das setzt man in A ein und erhält
A=5.54
Ok Vielen Dank
Yujean
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
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FRED
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