Die Gamma Funktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 So 16.05.2010 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | a)
Zeigen Sie, dass es unendlich viele Funktionen [mm]F_{\lambda}:(0, \infty) \to \IR, \lambda \in \IR[/mm], mit der Eigenschaft
[mm]F_{\lambda} (n+1)=n![/mm], [mm]n \in \IN[/mm], gibt, so dass [mm]\gamma - F_{\lambda}[/mm] differenzierbar ist, [mm]\lambda \in \IR[/mm].
b) Beweisen Sie die Legendre-Verdopplungsformel:
[mm]\gamma (\bruch{x}{2})*\gamma (\bruch{x+1}{2})=\bruch{\wurzel{\pi}}{2^{x-1}}*\gamma (x) , x > 0[/mm] |
Ich muss leider gestehen, dass ich zu der ersten Teilaufgabe keine Idee hab, wie ich das lösen könnte... Wäre echt lieb, wenn ihr mir ein paar Lösungsansätze geben könntet, damit ich da irgendwie weiter komme.
Zu Aufgabe b hab ich wenigstens schon einen Anfang:
z.z.[mm]\gamma (\bruch{x}{2})*\gamma (\bruch{x+1}{2})=\bruch{\wurzel{\pi}}{2^{x-1}}*\gamma(x)[/mm]
hier hab ich die Definition der Gamma Funktion genutzt:
[mm]\gamma (x)= \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*exp(-t) dx}[/mm]
Setz man dies ein kommt:
[mm] \gamma (\bruch{x}{2})*\gamma (\bruch{x+1}{2})=\integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{x}{2}-1}*exp(-t) dx}*\integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{x+1}{2}-1}*exp(-t) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{x}{2}-1}*exp(-t)*t^{\bruch{x+1}{2}-1}*exp(-t) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{2x-3}{2}}*exp(-t)*exp(-t) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*exp(-t) dx}*\integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{1}{2}}*exp(-t) dx}
[/mm]
der erste Faktor ist ja dann genau:
[mm]\gamma (x)= \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*exp(-t) dx}[/mm]
Also ist nur noch zu zeigen, dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{\bruch{1}{2}}*exp(-t) dx}=\bruch{\wurzel{\pi}}{2^{x-1}}
[/mm]
und genau hier komme ich nicht weiter...
wäre lieb, wenn mir einer helfen kann!
Danke schon mal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Mo 17.05.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo!
Ich mache gerade die selbe Aufgabe.
Guck mal hier: https://matheraum.de/read?i=683618
Vielleicht hilft es ja :)
|
|
|
|
