Dichte von Quotient von ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Seien X1 und X2 normalverteilt mit Mittelwert 0 und varianzen [mm] s1^2 [/mm] und [mm] s2^2. [/mm] Berechne die dichte des Quotienten X1/X2. |
Hallo!
Ich weiß leider gar nicht, wie ich hier anfangen soll. ich kenne zwar ein Theorem, welches mir die dichte für den Quotient X1/X2 angeben würde, nämlich
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f1(zt) f2(t) |t|dt}
[/mm]
aber da in der Aufgabe nicht steht, dass die Zufallsvariablen unabhängig sind, kann ich das doch nicht anwenden, oder? (f1 ist dichte von X1, f2 Dichte von X2)
Danke für jeden Tipp,
lg,
Natalie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 So 17.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Natalie,
ich vermute, dass man diese Information unterschlagen hat. Eine Verallgemeinerung des von dir genannten Theorems besagt:
Gegeben seien die beiden Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit gemeinsamer Dichte $g(x,y)$. Dann ist die Dichte von $U=X/Y$ gegeben durch [mm] $f_u(u)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y|g(uy,y)\,dy$.
[/mm]
Wird, wie in deiner Aufgabenstellung, nichts ueber die gemeinsame Verteilung von $(X,Y)$ angenommen, so halte ich die Aufgabe fuer nicht loesbar.
Uebrigens: Unterstellst du Unabhaengigkeit, so ist
[mm] $(\sigma_2X_1)/(\sigma_1X_2)$ [/mm] (Standard-)Cauchy-verteilt. Deren Dichte ist [mm] $f_v(v)=1/[\pi(1+v^2)]$ [/mm] fuer [mm] $v\in\IR$.
[/mm]
lg
Luis
|
|
|
| |
|
Hallo Luis,
nein, es wird nichts von gemeinsamer Verteilung gesagt. ich habe die ZV jetzt als unabhängig angenommen, und komme auf dein genanntes ergebnis.
herzlichen Dank für deine Hilfe!
lg,
Natalie
|
|
|
|
