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| Aufgabe | Sei n eine positive ganze Zahl. Sei D die Menge der Diagonalmatrizen der Dimension n, d.h. D besteht aus allen n [mm] \times [/mm] n-Matrizen [mm] A=(a_{ij}), [/mm] für die gilt: [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i [mm] \not= [/mm] j. Zeigen Sie:
1. Für A,B [mm] \in [/mm] D gilt A*B = B*A
2. Die n [mm] \times [/mm] n-Einheitsmatrix 1 ist in D. |
Hallo..
also oben steht die Aufgabe. Aber ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch. Also bei der 1. ist da ja glaube ich einfach das kommutativgesetz..oder?
ja und bei 2 weiß ich nicht...wie soll ich das beweisen?
Ich kann nicht beweisen..war noch nie mein ding -.-
bitte helft mir !
viele grüße
informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Informacao,
Du müsstest einfach nur  die Multiplikation
$ [mm] \begin{pmatrix} a_{i,j} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{i,j} & \cdots & 0 \\ \vdots & \dots & & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{i,j} & 0\\ 0 & \cdots & 0 & a_{i,j}\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} b_{i,j} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & b_{i,j} & \cdots & 0 \\ \vdots & \dots & & \vdots \\ 0 & \cdots & b_{i,j} & 0\\ 0 & \cdots & 0 & b_{i,j}\end{pmatrix}=...$
[/mm]
berechnen und schauen, ob die Matrix, die als Ergebnis rauskommt, wieder eine Diagonalmatrix ist...
Ich denke es müsste (für Schulzwecke) ausreichen, das anhand z.B. einer $3 [mm] \times [/mm] 3$ Matrix zu machen und dann noch mit ein paar Sätzen zu begründen, wieso man das auf größere Matrizen übertragen kann.
Schöne Grüße,
ardik
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ja das ist aber nicht für die schule und ich verstehe das auch nicht so recht...............
informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 23.10.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Informacao
Um zu beweisen, dass eine Matrix A zu D gehört, musst du zeigen, dass für [mm]i\neq j[/mm], [mm]a_{ij}=0[/mm].
Zum Beispiel, für C = -A hast du
[mm]c_{ij}=-a_{ij}=-0=0[/mm] für [mm]i\neq j[/mm].
Bei dem Matrixprodukt:
[mm]C=A*B[/mm] musst du zeigen, dass für [mm]i\neq j\qquad \mathrm{gilt}\qquad c_{ij}=\summe_{k}a_{ik}*b_{kj}=0[/mm]
Versuch's mal! Wenn es trotzdem nicht klappt, melde dich nochmal!
Schöne Grüße, 
galileo
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Hallo,
danke für die Antwort. Ich glaube, ich bin dazu nicht so bewandert. Ich habe versucht, mir das an einem Beispiel zu erläutern, aber ich weiß jetzt nicht, wie genau ich den Beweis aufschreiben soll..ka?
Bitte helft mir nochmal!
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 23.10.2006 | | Autor: | galileo |
Also:
[mm]c_{ij}=\summe_{k}a_{ik}b_{kj}[/mm]
In deser Summe sind alle a's null ausser [mm]a_{ii}[/mm]
[mm]c_{ij}=a_{ii}b_{ij}[/mm] ohne Summenzeichen.
Aber, für [mm]i\neq j[/mm] ist [mm] b_{ij} [/mm] auch null.
[mm]c_{ij}=\summe_{k}a_{ik}b_{kj}=a_{ii}b_{ij}=a_{ii}*0=0[/mm]
Also C ist auch eine Diagonalmatrix.
q.e.d. (was zu beweisen war)
Alles klar? Wenn nicht, frage nochmal gezielt. Ich würde mich auf dein Feedback freuen.
Viele Grüße,
galileo
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Hi,
Danke, das ist mir jetzt klar.
Und wie ist es mit der n [mm] \times [/mm] n Einheitsmatrix? Also ich meine die Aufgabe 2. Wie muss ich das machen?
Viele Grüße
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mo 23.10.2006 | | Autor: | galileo |
Die Definition der Einheitsmatrix 1 ist:
[mm]A*1=1*A=A[/mm]
[mm]\summe_{k}a_{ik}*1_{kj}=a_{ij}[/mm]
Von hier schlussfolgern wir, dass alle Summenglieder null sind ausser k = j. Also [mm]1_{kj}=0[/mm] für alee k verschieden von j.
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Informacao |
Okay...dankee, du hast mir sehr geholfen!!
Informacao
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