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| Aufgabe | Seien A, B [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm] symmetrische Mtrizen. Beweise, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
a) [mm] \exists [/mm] Q [mm] \in GL_{n} (\IR) [/mm] mit B= [mm] Q^{-1} [/mm] A Q
b) [mm] \exists [/mm] Q [mm] \in O_{n} (\IR):= [/mm] {C [mm] \in GL_{n} (\IR) [/mm] / [mm] C^{-1} [/mm] = [mm] C^{T} [/mm] } mit B= [mm] Q^{-1} [/mm] A Q.
Verwende dabei, dass für jede symmetrische Matrix M [mm] \in M_{n} (\IR) [/mm] ein Q [mm] \in O_{n} (\IR) [/mm] existiert, so dass [mm] Q^{-1} [/mm] M Q eine Diagonalmatrix ist (Spektralsatz). |
Hallo ihr Lieben,
ich bin mal wieder auf eure Hilfe angewiesen...
dass a) aus b) folgt ist mir klar und dass kann ich auch ganz einfach beweisen...
mein problem liegt daran wie ich beweise dass b) aus a) folgt:
kann ich in a) sagen, dass B die Diagonalmatrix zu A ist oder A zu B oder wie mache ich das??? Weil dann ist mir auch das klar, nur da hakts eben...
wäre super lieb von euch, wenn mir eienr nur ganz kurz helfen könnte..
viele liebe grüße
steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mo 23.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
da A und B ähnliche Matrizen sind, sind die Eigenwerte und somit auch die Diagonalmatrizen von A und B gleich.
Da A und B symmetrisch sind gibt es Matrizen T und S [mm] \in O_n [/mm] mit
[mm] D=T^{-1}AT=S^{-1}BS [/mm] also
[mm] D=T^{t}AT=S^{t}BS [/mm] also
[mm] B=ST^{t}ATS^{t}. [/mm] Das ist die gesuchte Darstellung weil [mm] (TS^t)^{-1}=ST^t=(TS^t)^t [/mm] gilt
mfg ullim
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