Diagonalisierung einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die reguläre Matrix S, sodass [mm] $SAS^{-1}$ [/mm] Diagonal ist.
$A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0\\1&0&1\end{pmatrix}$ [/mm] |
Hiho,
1. Schritt: Eigenwerte bestimmen.
Ich erhalte das charakteristische Polynom [mm] $P_A{t} [/mm] = t(1-t)(t-3)$. Also zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren.
Ich erhalte die Eigenwerte
[mm] $t_1 [/mm] = 0, [mm] t_2 [/mm] = 1, [mm] t_3 [/mm] = 3$.
2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen.
[mm] $v_1: [/mm] (A - [mm] 0E_3)\cdot v_1 [/mm] = 0 <=> A = 0$. Ein normierter Eigenvektor lautet $(-1, 1, 1)$.
[mm] $v_2: [/mm] (A- [mm] 1E_3) \cdot v_2 [/mm] = 0$. Ein normierte Eigenvektor lautet $(0, -1, 1)$.
[mm] $v_3: [/mm] (A- [mm] 3E_3) \cdot v_3 [/mm] = 0$. Ein normierter Eigenvektor lautet $(2,1,1)$.
3.) Schritt: Transformationsmatrix S aufstellen, indem die normierten Eigenvektoren spaltenweise eingetragen werden:
$S = [mm] \begin{pmatrix} -1&0&2\\1&-1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Nun ist ja A symmetrisch. Dann sollten die Spaltenvektoren von S paarweise orthogonal sein. Also ist [mm] $S^{-1} [/mm] = [mm] S^T$.
[/mm]
Damit erhalte ich schließlich im
4.) Schritt:
$S^TAS = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Diagonal ist meine Matrix schon. Aber die DIagonalelemente sollen doch die Eigenwerte sein. Meine Eigenwerte sind aber nicht 0,2,18.
=(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
die inverse Matrix ist falsch!
Geh mal auf
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm
und gib da die Matrix ein, die inverse Matrix ist ganz anders als deine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:07 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
die korrekte inverse Matrix von S ist: S^-1= [mm] \begin{pmatrix} -1/3&1/3&1/3\\0&-1/2&1/2\\1/3&1/6&1/6 \end{pmatrix} [/mm] $
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> Bestimmen Sie die reguläre Matrix S, sodass [mm]SAS^{-1}[/mm]
> Diagonal ist.
>
> [mm]A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\1 & 1 & 0\\1&0&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hiho,
>
> 1. Schritt: Eigenwerte bestimmen.
> Ich erhalte das charakteristische Polynom [mm]P_A{t} = t(1-t)(t-3)[/mm].
> Also zerfällt das charakteristische Polynom in
> Linearfaktoren.
>
> Ich erhalte die Eigenwerte
>
> [mm]t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = 3[/mm].
>
> 2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen.
>
> [mm]v_1: (A - 0E_3)\cdot v_1 = 0 <=> A = 0[/mm]. Ein normierter
> Eigenvektor lautet [mm](-1, 1, 1)[/mm].
>
> [mm]v_2: (A- 1E_3) \cdot v_2 = 0[/mm]. Ein normierte Eigenvektor
> lautet [mm](0, -1, 1)[/mm].
>
> [mm]v_3: (A- 3E_3) \cdot v_3 = 0[/mm]. Ein normierter Eigenvektor
> lautet [mm](2,1,1)[/mm].
>
> 3.) Schritt: Transformationsmatrix S aufstellen, indem die
> normierten Eigenvektoren spaltenweise eingetragen werden:
>
> [mm]S = \begin{pmatrix} -1&0&2\\1&-1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}[/mm].
Hallo,
Du hast das Normieren, welches Du selbst erwähnst, vergessen.
Daher ist S keine orthogonale Matrix, und deshalb ist ihr Transponiertes nicht die inverse Matrix.
>
> Nun ist ja A symmetrisch. Dann sollten die Spaltenvektoren
> von S paarweise orthogonal sein.
Sind sie.
Aber S ist bislang nicht orthogonal, weil die Spalten nicht normiert sind.
Wenn Du das noch tust, dann sollte alles klappen.
> Also ist [mm]S^{-1} = S^T[/mm].
>
> Damit erhalte ich schließlich im
>
> 4.) Schritt:
>
> [mm]S^TAS = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 18 \end{pmatrix}[/mm].
>
> Diagonal ist meine Matrix schon. Aber die DIagonalelemente
> sollen doch die Eigenwerte sein. Meine Eigenwerte sind aber
> nicht 0,2,18.
>
> =(
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Hallo,
es müsste doch auch so funktionieren wie hier
http://page.mi.fu-berlin.de/klarner/lina2_blatt5_loesungen.pdf
d.h. ich invertiere meine Matrix, bestehend aus den Eigenvektoren.
Ich erhalte dann aber
$ S = [mm] \begin{pmatrix} -1&0&2 \\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ [/mm] sowie
[mm] $S^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/3 & 1/6 & 1/6 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Aber [mm] $SAS^{-1}$ [/mm] ergibt wieder nicht das Gewünschte. Woran liegts diesmal?
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> Hallo,
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> es müsste doch auch so funktionieren wie hier
> http://page.mi.fu-berlin.de/klarner/lina2_blatt5_loesungen.pdf
>
> d.h. ich invertiere meine Matrix, bestehend aus den
> Eigenvektoren.
> Ich erhalte dann aber
>
> [mm]S = \begin{pmatrix} -1&0&2 \\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}[/mm]
> sowie
> [mm]S^{-1} = \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/3 & 1/6 & 1/6 \end{pmatrix}[/mm].
>
> Aber [mm]SAS^{-1}[/mm] ergibt wieder nicht das Gewünschte. Woran
> liegts diesmal?
Hallo,
A beschreibt eine lineare Abbildung bzgl. der Standardbasis, und die Diagonalmatrix D beschreibt dieselbe Abbildung bzgl einer Basis aus Eigenvektoren.
In [mm] D=TAT^{-1} [/mm] ist S die Matrix, die Vektoren, die bzgl der Standardbasis gegeben sind, in solche bzgl der Eigenbasis umwandelt,
[mm] T^{-1} [/mm] ist die Matrix, die Vektoren bzgl. der Eigenbasis in solche bzgl der Standardbasis umwandelt,
und diese Matrix ist halt die Matrix, die die Eigenvektoren (in Koordinaten bzgl. der Standardbasis, also "ganz normal") in den Spalten enthält.,
also ist [mm] T^{-1}=\begin{pmatrix} -1&0&2 \\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix},
[/mm]
und T ihre Inverse.
Du mußt also rechnen [mm] \begin{pmatrix} -1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 0 & 1/2 & -1/2 \\ 1/3 & 1/6 & 1/6 \end{pmatrix} [/mm] A [mm] \begin{pmatrix} -1&0&2 \\1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}.
[/mm]
Vielleicht war das zuvor sogar auch schon falsch - hab' ich grad keine Lust nachzugucken...
LG Angela
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