Diagonalisieren einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man Diagonalisiere folgende Matrix:
[mm] B=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Leute ich habe mit obiger Aufgabe ein kleines Problem, i hoffe ihr könnt mir helfen.
Mein Lösungsweg zu obiger Aufgabenstellung:
1) Eigenwerte aus dem Polynom bestimmen:
[mm] -\lambda^3 [/mm] + [mm] 2*\lambda^2 [/mm] + [mm] \lambda [/mm] - 2 = 0
Somit erhalte ich als Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = 1 , [mm] \lambda_2 [/mm] = 2 , [mm] \lambda_3 [/mm] = -1
Soweit so gut, nun erfolgt die Bestimmung der Eigenvektoren:
[mm] E_{v1}: [/mm] nach (B-1*I)* v erhalte ich folgendes Gleichungssystem:
0 - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
0 - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0
0 + 0 + [mm] x_3 [/mm] = 0
nun weiß ich nicht genau ob folgendes stimmt: ich habe [mm] x_1 [/mm] = 0 gesetzt, dann [mm] x_3 [/mm] = t und somit [mm] x_2 [/mm] berechnet, für das erhalte ich wiederum [mm] x_2 [/mm] = t
Mein [mm] E_{v1} [/mm] lautet allgemein also [mm] \vec v_1 [/mm] = t* [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Spezielle Lsg für t=1 somit [mm] v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] E_{v2}: [/mm] ich erhalte als GLS
- [mm] 1x_1 -1x_2 +1x_3= [/mm] 0
0 - [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0
0 + 0 + 0 = 0
Nullzeile, d.h 1 Parameter frei wählbar: [mm] x_3 [/mm] = t [mm] \rightarrow x_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * t und [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * t
allg.: [mm] E_{v2} [/mm] = t* [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
spez für t= 3: [mm] v_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich hoffe das stimmt soweit???
Mein größtes Problem liegt aber beim dritten Eigenvektor:
[mm] E_{v3}: [/mm] ich erhalte folgendes GLS:
[mm] 2x_1 [/mm] - [mm] x_2 +x_3 [/mm] = 0
0 + 0 [mm] +2x_3 [/mm] = 0
0 +0 + [mm] 3x_3 [/mm] = 0
somit ist [mm] x_3 [/mm] = 0, [mm] x_2 [/mm] = t und [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * t
allg Lsg: [mm] E_{v3}= [/mm] t* [mm] \begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
spez für t= 2: [mm] v_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Diagonalmatrix:
nach D = [mm] C^{-1} [/mm] * A * C
und ich erhalte:
[mm] D=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
was ja wiederum meine Ausgangsmatrix ist, herauskommen sollte laut Ti eine MAtrix mit der Hauptdiagonale 1, -1, 2
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn meiner Meinung nach habe ich richtig gerechnet 
Vielen Dank im voraus
lg sleepless
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> Man Diagonalisiere folgende Matrix:
>
> [mm]B=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo,
>
> Mein Lösungsweg zu obiger Aufgabenstellung:
>
> 1) Eigenwerte aus dem Polynom bestimmen:
>
> [mm]-\lambda^3[/mm] + [mm]2*\lambda^2[/mm] + [mm]\lambda[/mm] - 2 = 0
>
> Somit erhalte ich als Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] = 1 , [mm]\lambda_2[/mm]
> = 2 , [mm]\lambda_3[/mm] = -1
Das ist richtig.
>
> Soweit so gut, nun erfolgt die Bestimmung der
> Eigenvektoren:
>
> [mm]E_{v1}:[/mm] nach (B-1*I)* v erhalte ich folgendes
> Gleichungssystem:
> 0 - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> 0 - [mm]2x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 0
> 0 + 0 + [mm]x_3[/mm] = 0
>
> nun weiß ich nicht genau ob folgendes stimmt: ich habe [mm]x_1[/mm]
> = 0 gesetzt, dann [mm]x_3[/mm] = t und somit [mm]x_2[/mm] berechnet, für das
> erhalte ich wiederum [mm]x_2[/mm] = t
>
> Mein [mm]E_{v1}[/mm] lautet allgemein also [mm]\vec v_1[/mm] = t*
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> Spezielle Lsg
> für t=1 somit [mm]v_1=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Hier liegt der Fehler: Aus der 3. Zeile folgt [mm] x_3=0, [/mm] während es keinen Grund gibt [mm] x_1=0 [/mm] zu setzen.
Die beiden anderen Eigenvektoren stimmen.
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> [mm]E_{v2}:[/mm] ich erhalte als GLS
>
> - [mm]1x_1 -1x_2 +1x_3=[/mm] 0
> 0 - [mm]3x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 0
> 0 + 0 + 0 = 0
>
> Nullzeile, d.h 1 Parameter frei wählbar: [mm]x_3[/mm] = t
> [mm]\rightarrow x_2[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] * t und [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] *
> t
>
> allg.: [mm]E_{v2}[/mm] = t* [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{3} \\ \bruch{2}{3} \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> spez für t= 3: [mm]v_2= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt soweit???
>
> Mein größtes Problem liegt aber beim dritten
> Eigenvektor:
> [mm]E_{v3}:[/mm] ich erhalte folgendes GLS:
>
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]x_2 +x_3[/mm] = 0
> 0 + 0 [mm]+2x_3[/mm] = 0
> 0 +0 + [mm]3x_3[/mm] = 0
>
> somit ist [mm]x_3[/mm] = 0, [mm]x_2[/mm] = t und [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * t
>
> allg Lsg: [mm]E_{v3}=[/mm] t* [mm]\begin{pmatrix} \bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> spez für t= 2: [mm]v_3[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
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> Diagonalmatrix:
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> nach D = [mm]C^{-1}[/mm] * A * C
>
> und ich erhalte:
>
> [mm]D=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \\
0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> was ja wiederum meine Ausgangsmatrix ist, herauskommen
> sollte laut Ti eine MAtrix mit der Hauptdiagonale 1, -1, 2
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> Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn meiner Meinung nach
> habe ich richtig gerechnet
>
> Vielen Dank im voraus
> lg sleepless
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Danke für die schnelle Antwort, dachte ichs mir doch schon 
aber wie verfahre ich weiter ich verstehe das nicht ganz:
Nochmal das GLS:
0 - [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
0 - [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] = 0
0 + 0 [mm] +x_3 [/mm] = 0
[mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] x_2: -2x_2 [/mm] + 0 = 0 somit ist auch [mm] x_2 [/mm] = 0
[mm] x_1: [/mm] was ist mit dem setze ich das nun [mm] x_1 [/mm] = t?
lg
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> Danke für die schnelle Antwort, dachte ichs mir doch schon
>
>
> aber wie verfahre ich weiter ich verstehe das nicht ganz:
>
> Nochmal das GLS:
>
> 0 - [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
> 0 - [mm]2x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] = 0
> 0 + 0 [mm]+x_3[/mm] = 0
>
> [mm]x_3[/mm] = 0
> [mm]x_2: -2x_2[/mm] + 0 = 0 somit ist auch [mm]x_2[/mm] = 0
> [mm]x_1:[/mm] was ist mit dem setze ich das nun [mm]x_1[/mm] = t?
Genau! Der Wert von [mm] x_1 [/mm] ist durch keine Gleichung festgelegt.
>
> lg
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Super danke für die 2 Tipps und alle meine Fragen zu Eigenwertproblemen geklärt!
Danke
lg Sleepless
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Achja fast hätte ich vergessen zu fragen...
Bei den Eigenvektoren kann ich für eine spezielle Lösung für t eine beliebige Zahl einsetzen oder nicht?
und wenn ich die Matrix C aufstelle, nehme ich diese spezielle Lsg als Vektoren oder die allgemeine oder ist das egal?
lg
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> Achja fast hätte ich vergessen zu fragen...
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> Bei den Eigenvektoren kann ich für eine spezielle Lösung
> für t eine beliebige Zahl einsetzen oder nicht?
> und wenn ich die Matrix C aufstelle, nehme ich diese
> spezielle Lsg als Vektoren oder die allgemeine oder ist das
> egal?
>
> lg
Für die Matrix C nimmst du jeweils eine spezielle Lösung, wie du es auch getan hast (mit der allgemeinen würde es auch ziemlich schwierig, die Inverse zu berechen).
Nur wenn nach allen Eigenvektoren gefragt ist, bleibt t natürlich allgemein.
PS. Wenn du einen Eigenvektor [mm] \vec{v} [/mm] bestimmt hast, empfielt es sich immer, zur Kontrolle [mm] A\vec{v} [/mm] auszurechnen. So entdeckst du Fehler sofort.
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Danke, also als Probe rechne ich dann A* [mm] \vec [/mm] {v}
das ergibt für meinen [mm] E_{v2} [/mm] dann [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}
[/mm]
und für [mm] E_{v3} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
aber wie sehe ich daran ob das stimmt?
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> Danke, also als Probe rechne ich dann A* [mm]\vec[/mm] {v}
>
> das ergibt für meinen [mm]E_{v2}[/mm] dann [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}[/mm]
Das ist gleich [mm] 2\vec{v_2}
[/mm]
>
> und für [mm]E_{v3} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
[mm] =-\vec{v_3}
[/mm]
>
> aber wie sehe ich daran ob das stimmt?
Also erfüllen beide Vektoren die Definition des Eigenvektors.
Noch ein Hinweis: Bei der Bildung der Matrix C ist die Reihenfolge der Spaltenvektoren beliebig. Das kann man ausnutzen, um C so zu bilden, dass die Berechnung von C{-1} möglichst einfach wird.
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