Diagonalisierbarkeit Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe mir mal aufgeschrieben wie man eine invertierbare Matrix P, und eine Diagonalmatrix zu einer Matrix ausrechnet.
Hoffe könnt mal überprüfen ob alles richtig ist
1.Schritt:
Berechnung der Eigenwerte:
det(X*E-A) aufstellen.
Den ausgerechneten Polynomen auf NST prüfen.
NST=Eigenwerte
2.Schritt:
Zu jedem EW, die Eigenvektor(en )ausrechnen.
Ker(X*E-A) aufstellen.
Basisvektoren dieses Matrixes sind die Basisvektoren für den jeweiligen Ew, den man für x in der Formel(X*E-A) eingesetzt hatte.
Summe der Basisvektoren=n //sonst ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
3.Schritt:
Die invertierbare Matrix P besteht aus den Eigenvektoren.
Die dazugehörige Diagonalmatrix besteht aus den EW.
Wichtig: Wenn der erste Eigenvektor bei P in der ersten Spalte steht, muss der dazugehörige Eigenwert bei D ebenfalls in der ersten Spalte stehen.
Bitte um Überprüfung und um Ergänzung.
Ich glaube mir fehlt noch etwas zur Nicht Invertierbarkeit.
Danke schonmal!
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> Hallo,
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> Ich habe mir mal aufgeschrieben wie man eine invertierbare
> Matrix P und eine Diagonalmatrix [mm] \red{D} [/mm] zu einer Matrix [mm] \red{A}
[/mm]
> ausrechnet, so daß [mm] \red{P^{-1}AP=D}.
[/mm]
> Hoffe könnt mal überprüfen ob alles richtig ist
>
> 1.Schritt:
>
> Berechnung der Eigenwerte:
> det(X*E-A) aufstellen.
> Den ausgerechneten Polynomen auf NST prüfen.
> NST=Eigenwerte
>
> 2.Schritt:
> Zu jedem EW, die Eigenvektor(en )ausrechnen.
Dazu
> Ker(X*E-A) aufstellen.
> Basisvektoren dieses Matrixes sind die Basisvektoren für
> den jeweiligen Ew, den man für x in der Formel(X*E-A)
> eingesetzt hatte.
> Summe der Basisvektoren=n //sonst ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar.
>
> 3.Schritt:
>
> Die invertierbare Matrix P besteht aus den Eigenvektoren.
> Die dazugehörige Diagonalmatrix besteht aus den EW.
>
> Wichtig: Wenn der erste Eigenvektor bei P in der ersten
> Spalte steht, muss der dazugehörige Eigenwert bei D
> ebenfalls in der ersten Spalte stehen.
>
> Bitte um Überprüfung und um Ergänzung.
Hallo,
es liest sich so, als könntest Du diagonalisieren.
> Ich glaube mir fehlt noch etwas zur Nicht
> Invertierbarkeit.
Nein.
Wenn A nicht invertierbar ist, ist mindestens ein Eigenwert =0 - aber das macht ja nichts.
Die Matrix P ist immer invertierbar - die Matrix P gibt es natürlich nur, wenn es eine Basis aus Eignvektoren gibt, die Matrix also diagonalisierbar ist.
Gruß v. Angela
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> Danke schonmal!
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