Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:43 So 06.06.2010 | | Autor: | Chrispp |
| Aufgabe | Sei H aus K^(nxn) Matrix mit H²=En (wobei En die n-te Einheitsmatrix sei)
Zu zeigen: => H ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit 1en und -1en als Diagonalelementen.
Tipp: Betrachte x-Hx für x aus [mm] K^n [/mm] |
Hiho,
Bei dieser Aufgabe stehe ich irgendwie ziemlich auf dem Schlauch, weil ich irgendwie keine Ahnung habe wie ich dort herangehen soll.
Habe mittlerweile herausbekommen, dass H nur die Eigenwerte 1 und -1 haben kann und, dass die Determinante der Diagonalmatrix zu der H ähnlich seien soll ebenfalls 1 ist.
D.h. ich muss eigentlich "nur" noch zeigen, dass H diagonalisierbar ist, aber da liegt auch irgendwie der Hund begraben...
Normalerweise würde ich nachweisen, dass es eine Basis des [mm] K^n [/mm] aus Eigenvektoren von H gibt damit H diagonalisierbar ist oder, dass das charakteristische Polynom zerfällt und die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist.
Aber aufgrund der spärlichen Vorraussetzung sehe ich einfach nicht wie ich das hier machen kann =(
Vor allem verwirrt mich der Tipp irgendwie mehr als er mir hilft, weil ich sehe irgendwie nicht wo ich den Tipp in dieser Aufgabe einbringen kann...
Kann mir da irgendjemand ein wenig auf die Sprünge helfen?
Ps.: Minimalpolynom hatten wir nicht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=140549
Leider war die Resonanz nicht so groß, deshalb frage ich noch zusätzlich hier 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 So 06.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Sei H aus K^(nxn) Matrix mit H²=En (wobei En die n-te
> Einheitsmatrix sei)
>
> Zu zeigen: => H ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit
> 1en und -1en als Diagonalelementen.
>
> Tipp: Betrachte x-Hx für x aus [mm]K^n[/mm]
> Hiho,
>
> Bei dieser Aufgabe stehe ich irgendwie ziemlich auf dem
> Schlauch, weil ich irgendwie keine Ahnung habe wie ich dort
> herangehen soll.
> Habe mittlerweile herausbekommen, dass H nur die
> Eigenwerte 1 und -1 haben kann und, dass die Determinante
> der Diagonalmatrix zu der H ähnlich seien soll ebenfalls 1
> ist.
>
> D.h. ich muss eigentlich "nur" noch zeigen, dass H
> diagonalisierbar ist, aber da liegt auch irgendwie der Hund
> begraben...
>
> Normalerweise würde ich nachweisen, dass es eine Basis des
> [mm]K^n[/mm] aus Eigenvektoren von H gibt damit H diagonalisierbar
> ist oder, dass das charakteristische Polynom zerfällt und
> die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen
> Vielfachheit ist.
>
> Aber aufgrund der spärlichen Vorraussetzung sehe ich
> einfach nicht wie ich das hier machen kann =(
> Vor allem verwirrt mich der Tipp irgendwie mehr als er mir
> hilft, weil ich sehe irgendwie nicht wo ich den Tipp in
> dieser Aufgabe einbringen kann...
>
> Kann mir da irgendjemand ein wenig auf die Sprünge
> helfen?
>
> Ps.: Minimalpolynom hatten wir nicht.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=140549
>
> Leider war die Resonanz nicht so groß, deshalb frage ich
> noch zusätzlich hier
Ich würde zuerst einmal [mm]H^2=1_n\gdw 1_n-H^2=0\gdw 1_n^2-H^2=0\gdw0=(1_n+H)(1_n-H)[/mm] betrachten.
Wegen dem Minimalpolynom ist es schade, denn [mm] $H^2-1_n=0\Rightarrow x^2-1=0=(x-1)(x+1)$ [/mm] ist Minimalpolynom und die Nullstellen sind gerade die Eigenwerte.
Außerdem ist noch [mm] $H^2=1_n\gdw H^T\cdot H^T=1_n^T=1_n=H\cdot [/mm] H$
Also muss H auch noch symmetrisch sein.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 So 06.06.2010 | | Autor: | Chrispp |
Ja wie gesagt, wenn wir Minimalpolynom gehabt hätten wäre man wirklich schnell fertig gewesen
Aber habe mittlerweile einen anderen Plan verfolgt, bin mir eigentlich recht sicher, aber wäre trotzdem super wenn nochmal jemand einen kurzen Blick drüber werfen könnte:
Es gilt [mm] H^2= E_n
[/mm]
Sei X aus [mm] K^n [/mm] beliebig.
Sei nun [mm] X_0 [/mm] := X-HX
=> H(X-HX) = HX-H^(2)*X = HX-X = [mm] -X_0
[/mm]
=> [mm] X_0 [/mm] ist Eigenvektor von H zum Eigenwert -1
Sei [mm] X_1 [/mm] := X+HX
=> H(X+HX) = HX+H^(2)*X =HX+X= [mm] X_1
[/mm]
=> [mm] X_1 [/mm] ist Eigenvektor von H zum Eigenwert 1
Es gilt, dass der Schnitt der Eigenräume leer ist. Zeige nun, dass jeder Vektor X aus [mm] K^n [/mm] eine Darstellung X=a+b besitzt mit
a aus Eig(H,1) und b aus Eig(H,-1)
Sei aus [mm] K^n [/mm] gegeben.
Wähle a=(1/2) [mm] *X_1 [/mm] aus Eig (H,1) und b=1/2 * [mm] X_2 [/mm] aus Eig(H,-1)
=>X=(1/2) *(X+AX+X-AX) = X
=> [mm] K^n [/mm] ist direkte Summe der Eigenräume von 1 und -1
=>A ist diagonalisierbar
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Hallo,
> Ja wie gesagt, wenn wir Minimalpolynom gehabt hätten wäre
> man wirklich schnell fertig gewesen
>
> Aber habe mittlerweile einen anderen Plan verfolgt, bin mir
> eigentlich recht sicher, aber wäre trotzdem super wenn
> nochmal jemand einen kurzen Blick drüber werfen könnte:
>
>
>
> Es gilt [mm]H^2= E_n[/mm]
> Sei X aus [mm]K^n[/mm] beliebig.
>
> Sei nun [mm]X_0[/mm] := X-HX
>
> => H(X-HX) = HX-H^(2)*X = HX-X = [mm]-X_0[/mm]
>
> => [mm]X_0[/mm] ist Eigenvektor von H zum Eigenwert -1
>
> Sei [mm]X_1[/mm] := X+HX
>
> => H(X+HX) = HX+H^(2)*X =HX+X= [mm]X_1[/mm]
>
> => [mm]X_1[/mm] ist Eigenvektor von H zum Eigenwert 1
>
> Es gilt, dass der Schnitt der Eigenräume leer ist. Zeige
> nun, dass jeder Vektor X aus [mm]K^n[/mm] eine Darstellung X=a+b
> besitzt mit
> a aus Eig(H,1) und b aus Eig(H,-1)
>
> Sei aus [mm]K^n[/mm] gegeben.
>
> Wähle a=(1/2) [mm]*X_1[/mm] aus Eig (H,1) und b=1/2 * [mm]X_2[/mm] aus
> Eig(H,-1)
>
> =>X=(1/2) *(X+AX+X-AX) = X
Statt H = A.
> => [mm]K^n[/mm] ist direkte Summe der Eigenräume von 1 und -1
> =>A ist diagonalisierbar
Statt H = A.
Ansonsten alles wunderbar und richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Du solltest vielleicht nach Bestimmung der Eigenvektoren nochmal die Eigenräume explizit aufschreiben, die stehen nämlich nirgendwo.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 06.06.2010 | | Autor: | Chrispp |
Jo prima Dankeschön fürs nochmal anschauen!
Kann dann ein Haken drunter
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