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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Sei A eine 2x2 Matrix mit Elementen aus [mm] \IR. [/mm] Man zeige :
(i) A ist diagonalisierbar ,falls [mm] (SpurA)^{2} [/mm] > 4Det(A)
(ii) A ist trigonalisierbar g.d.w. [mm] (SpurA)^{2} \ge [/mm] 4Det(A)
(iii) A ist trigonalisierbar aber nicht diagonalisierbar g.d.w. [mm] (SpurA)^{2}=4Det(A) [/mm] und A nicht Diagonalmatrix ist. |
A:= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
(i) A soll diagonalisierbar sein wenn gilt : [mm] (a+d)^{2} [/mm] > 4(ad - bc) [mm] \Rightarrow a^{2}+d^{2} [/mm] > 2ad - 4bc
Irgendwie ist das quatsch.
Ich weiß einfach nicht wo ich ansetzen soll.
Soll ich hier am besten eine Fallunterscheindung machen?
Wo leigt genau der Zusammenhang zwischen Diagonalisierbarkeit (wann zerfällt etwas in Linearfaktoren , wann sind die geometrische Vielfachkeit gleich der algebraischen?) und der Gleichung ?
Könnte mir jemand einen Tipp geben ?
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Hallo!
> Sei A eine 2x2 Matrix mit Elementen aus [mm]\IR.[/mm] Man zeige :
>
> (i) A ist diagonalisierbar ,falls [mm](SpurA)^{2}[/mm] > 4Det(A)
> (ii) A ist trigonalisierbar g.d.w. [mm](SpurA)^{2} \ge[/mm]
> 4Det(A)
> (iii) A ist trigonalisierbar aber nicht diagonalisierbar
> g.d.w. [mm](SpurA)^{2}=4Det(A)[/mm] und A nicht Diagonalmatrix ist.
> A:= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
Du musst gar nicht auf die Ebene von a,b,c,d herunter.
Dir sollte die folgende Formel für das charakteristische Polynom für 2x2-Matrizen (oder im Allgemeineren Fall) mal untergekommen sein:
[mm] $X_{A}^{char}(t) [/mm] = [mm] t^{2}-spur(A)*t+det(A)$.
[/mm]
(![[]](/images/popup.gif) Aus Wikipedia)
> Wo leigt genau der Zusammenhang zwischen
> Diagonalisierbarkeit (wann zerfällt etwas in
> Linearfaktoren , wann sind die geometrische Vielfachkeit
> gleich der algebraischen?) und der Gleichung ?
Wende die quadratische Lösungsformel auf das charakteristische Polynom an.
Wenn es zwei reelle, verschiedene Lösungen gibt, so gibt es zwei verschiedene Eigenwerte, also zwei verschiedene Eigenräume mit jeweils Dimension 1. Daraus folgt Diagonalisierbarkeit.
Wenn es zwei reelle Lösungen gibt, so zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren. Daraus folgt Trigonalisierbarkeit.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Ayame |
Darf ich denn die pq-Formel benutzen ?
Ich brauche ja 2 verschiedenen Nullstellen [mm] \Rightarrow [/mm] 2 Eigenwerte.
Wie du schon sagstes sieht das charakt. Polynom einer 2x2 Matrix wie folgt aus :
c.p.= [mm] t^{2}- [/mm] SpurA*t + detA
Also kann ich mit der pq-Formel die 2 Nullstellen ermitteln
0 = - [mm] \bruch{SpurA}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{(\bruch{SpurA}{2})^{2} - detA}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel{(\bruch{SpurA}{2})^{2} - detA} [/mm] > 0 für mehrer Nullstellen
[mm] \Rightarrow (\bruch{SpurA}{2})^{2} [/mm] - detA > 0 [mm] \Rightarrow \bruch{SpurA^{2}}{4} [/mm] > detA
[mm] \Rightarrow SpurA^{2} [/mm] > 4detA
Damit stimmt meine Aussage.
Aus den gleichen weg würde ich dann (ii) und (iii) erklären.
Darf ich das aber so machen ?
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Hallo,
> Darf ich denn die pq-Formel benutzen ?
Natürlich! Es geht doch hier um ein Polynom in t!
> Ich brauche ja 2 verschiedenen Nullstellen [mm]\Rightarrow[/mm] 2
> Eigenwerte.
>
> Wie du schon sagstes sieht das charakt. Polynom einer 2x2
> Matrix wie folgt aus :
>
> c.p.= [mm]t^{2}-[/mm] SpurA*t + detA
>
> Also kann ich mit der pq-Formel die 2 Nullstellen
> ermitteln
>
> 0 = - [mm]\bruch{SpurA}{2}[/mm] +/- [mm]\wurzel{(\bruch{SpurA}{2})^{2} - detA}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \wurzel{(\bruch{SpurA}{2})^{2} - detA}[/mm] > 0 für
> mehrer Nullstellen
Das ist nicht ganz okay. Du meinst: Es muss [mm] $(\bruch{SpurA}{2})^{2} [/mm] - detA [mm] \ge [/mm] 0$ sein, damit überhaupt Nullstellen existieren. (Die Wurzel ist immer > 0, die Aussage ist also nicht förderlich).
> [mm]\Rightarrow (\bruch{SpurA}{2})^{2}[/mm] - detA > 0 [mm]\Rightarrow \bruch{SpurA^{2}}{4}[/mm]
> > detA
> [mm]\Rightarrow SpurA^{2}[/mm] > 4detA
> Damit stimmt meine Aussage.
Genau!
> Aus den gleichen weg würde ich dann (ii) und (iii)
> erklären.
>
> Darf ich das aber so machen ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Ayame |
Jaaah :)
Super, Danke schön für deine Hilfe.
Wünsch dir noch ein schönes Wochenende.
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