Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
| Aufgabe | | Bestimme das Minimalpolynm von der Matrix A=[mm]\begin{pmatrix}
-2 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]. |
Hallo.
Zuerst habe ich das char. Polynom bestimmt: [mm] p_A= [/mm] (-2-[mm]\lambda[/mm])*(1-[mm]\lambda[/mm][mm] )^2.
[/mm]
Somit gibt es zwei Möglichkeiten für das Minimalpolynom:
(1): µ(A)=(-2-[mm]\lambda[/mm])*(1-[mm]\lambda[/mm])
oder
(2): µ(A)=(-2-[mm]\lambda[/mm])*(1-[mm]\lambda[/mm][mm] )^2.
[/mm]
Zuerst habe ich (1) überprüft indem ich geschaut habe ob (-2*Id-A)*(1*Id-A)=0 (also Nullmatrix) ergibt. Dies ist nicht der Fall also ist (2) das gesuchte Minimalpolynom. Richtig?
Nun habe ich aber gelesen dass (2) darauf hindeutet dass A nicht echt diagonalisierbar ist auf Grund der doppelten Nullstelle -1 beim Minimalpolynom.
Was genau ist mit echt diagonalisierbar gemeint?
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:33 Mi 02.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme das Minimalpolynm von der Matrix
> A=[mm]\begin{pmatrix}
-2 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm].
>
> Hallo.
>
> Zuerst habe ich das char. Polynom bestimmt: [mm]p_A=[/mm]
> (-2-[mm]\lambda[/mm])*(1-[mm]\lambda[/mm][mm] )^2.[/mm]
>
> Somit gibt es zwei Möglichkeiten für das Minimalpolynom:
>
> (1): µ(A)=(-2-[mm]\lambda[/mm])*(1-[mm]\lambda[/mm])
>
> oder
>
> (2): µ(A)=(-2-[mm]\lambda[/mm])*(1-[mm]\lambda[/mm][mm] )^2.[/mm]
>
>
> Zuerst habe ich (1) überprüft indem ich geschaut habe ob
> (-2*Id-A)*(1*Id-A)=0 (also Nullmatrix) ergibt. Dies ist
> nicht der Fall also ist (2) das gesuchte Minimalpolynom.
> Richtig?
Richtig.
>
> Nun habe ich aber gelesen dass (2) darauf hindeutet dass A
> nicht echt diagonalisierbar ist auf Grund der doppelten
> Nullstelle -1 beim Minimalpolynom.
>
> Was genau ist mit echt diagonalisierbar gemeint?
Eine Matrix A heißt echt-diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom von A vielfachheitenfrei in Linearfaktoren zerfällt.
FRED
>
> Danke im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Wurzel2 |
Aber prinzipiell ist die Matrix A doch diagonalisierbar, oder?
Warum macht man einen Unterschied in echt und unecht diagonalsierbar?
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> Aber prinzipiell ist die Matrix A doch diagonalisierbar,
> oder?
Hallo,
hast Du mal nachgerechnet?
Sie ist nicht diagonalisierbar.
> Warum macht man einen Unterschied in echt und unecht diagonalsierbar?
Ich höre bzw. lese den Begriff echt-diagonalisierbar heute zum erstem Mal in meinem Leben.
(@Fred: ist das eigentlich ein allgemein üblicher Begriff? Eher nicht, oder?)
Echt-diagonalisierbar ist wohl das, was ich als diagonalisierbar bezeichnen würde, und ich reime mir zusammen, daß unecht-diagonalisierbar dann das ist, was ich (und wahrscheinlich auch Du) als triangulierbar/trigonalisierbar kenne.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Fr 04.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Aber prinzipiell ist die Matrix A doch diagonalisierbar,
> > oder?
>
> Hallo,
>
> hast Du mal nachgerechnet?
> Sie ist nicht diagonalisierbar.
>
> > Warum macht man einen Unterschied in echt und unecht
> diagonalsierbar?
>
> Ich höre bzw. lese den Begriff echt-diagonalisierbar heute
> zum erstem Mal in meinem Leben.
> (@Fred: ist das eigentlich ein allgemein üblicher
> Begriff? Eher nicht, oder?)
Eher nicht
FRED
>
> Echt-diagonalisierbar ist wohl das, was ich als
> diagonalisierbar bezeichnen würde, und ich reime mir
> zusammen, daß unecht-diagonalisierbar dann das ist, was
> ich (und wahrscheinlich auch Du) als
> triangulierbar/trigonalisierbar kenne.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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