Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 So 06.09.2009 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe | | Ist die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0} [/mm] diagonalisierbar? |
Ja sie ist diagonalisierbar, aber das warum? Sie ist nicht normal, also woran erkenne ich es dann? Muss ich die Diagonalisierung durchführen?
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Hallo
> Ist die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0}[/mm]
> diagonalisierbar?
> Ja sie ist diagonalisierbar, aber das warum? Sie ist nicht
> normal, also woran erkenne ich es dann? Muss ich die
> Diagonalisierung durchführen?
Nun, wenn du die Matrix in Blöcke aufteilst so hast du oben links die Matrix A, unten rechts die Matrix B (der Rest sin Nullen)
A = [mm] \pmat{1 & 5 \\ 0 & 2}
[/mm]
B = [mm] \pmat{0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0}
[/mm]
A hat 2 verschiedene Eigenwerte.
B ist symmetrisch.
Das sollte dir helfen :)
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mo 07.09.2009 | | Autor: | DarkCell |
Also kann ich wenn ich eine Block-Diagonal-matrix habe, und beide Blöcke diagonalisieren kann, davon ausgehen, das auch die gesamte Matrix diagonalisierbar ist? Geht das auch mit oberen oder unteren Block-Dreiecks-Matrizen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 07.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also kann ich wenn ich eine Block-Diagonal-matrix habe, und
> beide Blöcke diagonalisieren kann, davon ausgehen, das
> auch die gesamte Matrix diagonalisierbar ist?
Ja. Das ist sogar eine genau-dann-wenn-Bedingung.
> Geht das auch
> mit oberen oder unteren Block-Dreiecks-Matrizen?
Bedingt. Bei der Block-Dreiecks-Matrix [mm] $\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }$ [/mm] sind der obere linke und der untere rechte Block diagonalisierbar, die Gesamtmatrix aber nicht.
Unter bestimmten Bedingungen geht es jedoch schon, etwa wenn der untere rechte und der obere linke Block keine gemeinsamen Eigenwerte haben, dann sollte es gehen.
LG Felix
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