Diagonalisierbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Di 01.09.2009 | | Autor: | Domwow |
| Aufgabe | | Die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 5& 0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0 } [/mm] ist diagonalisierbar. |
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Moin!
Wie sieht man schnell, dass diese Matrix diagonalisierbar ist?
Lieben Gruß, Dom.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 01.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Dom!
> Die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 5& 0&0&0 \\ 0 & 2&0&0&0\\0&0&0&1&1\\0&0&1&0&0\\0&0&1&0&0 }[/mm]
> ist diagonalisierbar.
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> Wie sieht man schnell, dass diese Matrix diagonalisierbar
> ist?
Unterteile sie in die obere linke $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix (nennen wir sie $A$) und die untere rechte $3 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix (nennen wir sie $B$). Wenn $A$ und $B$ diagonalisierbar sind, dann auch die gesamte Matrix.
Nun ist $B$ symmetrisch, also orthogonal diagonalisierbar.
Weiterhin ist das charakteristische Polynom von $A$ gerade $(x - 1) (x - 2)$, also hat $A$ zwei einfache Eigenwerte und ist somit ebenfalls diagonalisierbar.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Di 01.09.2009 | | Autor: | Domwow |
Danke, so hab ich es mir auch gedacht, wusste aber nicht, dass man sie unterteilen kann und dann immer noch auf Diagonaliserbarkeit schließen kann.
Gruß, Dom.
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