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| Aufgabe | Unter welchen Vorraussetzungen wird die Matrix
[mm] \pmat{ 0 & & a_1 \\ & / & \\ a_n & & 0 }
[/mm]
diagonalisierbar über [mm] \IC [/mm] ?
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Also ich weiß, dass eine Matrix S diagonalsierbar ist, wenn man eine Matrix A findet, so dass A^-1 S A Diagonalgestalt ist. Ich bin jetzt so vorgegangen, dass ich mir eine 3x3 Matrix angeguckt habe, also
[mm] \pmat{ 0 & 0 & a \\ 0& b &0 \\ c & 0 & 0 }.
[/mm]
Zu dieser Matrix habe ich das charakteristische Polynom berechenet, daraus die Eigenvektoren abgelesen und anschließend die Eingenvektoren berechnet. Aus den Eigenvektoren habe ich dann die Spalten der Matrix A gebildet.
[mm] A=\pmat{\bruch{1}{c}\wurzel{ac}& 0 &-\bruch{1}{c}\wurzel{ac} \\ 0&1&0\\1&0&1 }
[/mm]
Zu dieser Matrix habe ich die Inverse gebildet
A^-1 [mm] =\pmat{ \bruch{1}{2} \bruch{c} {\wurzel{ac}&0&\bruch{1}{2}}
\\0 & 1 & 0
\\ -\bruch{1}{2}\bruch{c}{\wurzel{ac}&0&\bruch{1}{2}}}
[/mm]
So und wenn man jetzt
A^-1SA berechnet bekommt tatsächlich eine Diagonalmatrix:
A^-1 S A=
[mm] \pmat{
-\bruch{1}{2} \wurzel{ac} - \bruch{1}{2} \bruch{ac}{\wurzel{ac}}
& 0 & 0
\\ 0 & b & 0
\\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} \wurzel{ac}+ \bruch{1}{2} \bruch{ac}{\wurzel{ac}}
}
[/mm]
Das heißt, im 3x3 Fall sollte es meiner Meinung nach immer möglich sein, aber ich weiß nicht wie ich eine Einschränkung für andere Fälle finden kann. Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Unter welchen Vorraussetzungen wird die Matrix
> [mm]\pmat{ 0 & & a_1 \\ & / & \\ a_n & & 0 }[/mm]
>
> diagonalisierbar über [mm]\IC[/mm] ?
>
> Also ich weiß, dass eine Matrix S diagonalsierbar ist, wenn
> man eine Matrix A findet, so dass A^-1 S A Diagonalgestalt
> ist.
Ich mag ja erschreckend naiv sein, aber ich habe (nach zugegebenermassen relativ flüchtigem Hinschauen) den Eindruck, dass eine solche Matrix, in der nur die Elemente [mm]a_{ij}[/mm] mit [mm]i+j=n+1[/mm] ungleich 0 sein können, stets diagonalisierbar ist (und zwar nicht nur über [mm]\IC[/mm]): Einfach indem man als neue Basis passend vertauschte Basisvektoren [mm]\vec{e}_{i=1,\ldots,n}[/mm] nimmt: [mm]\vec{e'}_i := \vec{e}_{n+1-i}[/mm]. Damit sollte, wenn ich mich nicht irre, die Matrix in der neuen Basis [mm]\vec{e'}_{i=1,\ldots,n}[/mm] diagonalisiert sein.
> Ich bin jetzt so vorgegangen, dass ich mir eine 3x3
> Matrix angeguckt habe, also
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & a \\ 0& b &0 \\ c & 0 & 0 }.[/mm]
> Zu dieser
> Matrix habe ich das charakteristische Polynom berechenet,
> daraus die Eigenvektoren abgelesen und anschließend die
> Eingenvektoren berechnet. Aus den Eigenvektoren habe ich
> dann die Spalten der Matrix A gebildet.
> [mm]A=\pmat{\bruch{1}{c}\wurzel{ac}& 0 &-\bruch{1}{c}\wurzel{ac} \\ 0&1&0\\1&0&1 }[/mm]
>
> Zu dieser Matrix habe ich die Inverse gebildet
> A^-1 [mm]=\pmat{ \bruch{1}{2} \bruch{c} {\wurzel{ac}&0&\bruch{1}{2}}
\\0 & 1 & 0
\\ -\bruch{1}{2}\bruch{c}{\wurzel{ac}&0&\bruch{1}{2}}}[/mm]
>
> So und wenn man jetzt
> A^-1SA berechnet bekommt tatsächlich eine Diagonalmatrix:
> A^-1 S A=
> [mm]\pmat{
-\bruch{1}{2} \wurzel{ac} - \bruch{1}{2} \bruch{ac}{\wurzel{ac}}
& 0 & 0
\\ 0 & b & 0
\\ 0 & 0 & \bruch{1}{2} \wurzel{ac}+ \bruch{1}{2} \bruch{ac}{\wurzel{ac}}
}[/mm]
>
> Das heißt, im 3x3 Fall sollte es meiner Meinung nach immer
> möglich sein, aber ich weiß nicht wie ich eine
> Einschränkung für andere Fälle finden kann. Könnt ihr mir
> vielleicht helfen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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Im Großen und ganzen stimme ich der Antwort vor mir zu aber mit einem kleinen Einwand.
Soweit ich mich erinnere ist die genannte Matrix für [mm] a_i\not=0 \forall i=1..n[/mm] diagonalisierbar da die Spalten eine Orthogonalbasis darstellen.
Falls allerdings ein [mm] a_i=0 [/mm] außerhalb der Diagonalen ist, gilt (z.B. mit der Laplace-Entwicklung) [mm] det(A-\lambda I)=0 [/mm], also wäre die Matrix nicht diagonalisierbar.
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Ok, das sehe ich alles ein, aber wie beweise ich das denn? Ich meine es gibt ja konkrete Bedingungen dafür, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, also z.B.
Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren und die gemometrische Vielfachheit der Eigenwerte ist gleich der algebraischen.
Aber wie kann ich diese Bedingung, oder eine ähnlich, allgemein bei dieser Aufgabe auf eine [mm]n\times n[/mm] Matrix anweden?
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> Ok, das sehe ich alles ein, aber wie beweise ich das denn?
Hallo,
was genau siehst Du ein?
> aber wie beweise ich das denn?
Das hat Dir doch somebody schon gesagt.
Gruß v. Angela
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> Falls allerdings ein [mm]a_i=0[/mm] außerhalb der Diagonalen ist,
> gilt (z.B. mit der Laplace-Entwicklung) [mm]det(A-\lambda I)=0 [/mm],
> also wäre die Matrix nicht diagonalisierbar.
Hallo,
das stimmt nicht:
[mm] A:=\pmat{ 0 & 0&1 \\ 0 & 2&0\\ 0 & 0&0}.
[/mm]
Es ist det(A- [mm] \lambda [/mm] I)=det [mm] \pmat{ -\lambda & 0&1 \\ 0 & 2-\lambda &0\\ 0 & 0&-\lambda}=\lambda^2(2-\lambda)\not=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 So 01.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Unter welchen Vorraussetzungen wird die Matrix
> [mm]\pmat{ 0 & & a_1 \\ & / & \\ a_n & & 0 }[/mm]
>
> diagonalisierbar über [mm]\IC[/mm] ?
>
> Also ich weiß, dass eine Matrix S diagonalsierbar ist, wenn
> man eine Matrix A findet, so dass A^-1 S A Diagonalgestalt
> ist. Ich bin jetzt so vorgegangen, dass ich mir eine 3x3
> Matrix angeguckt habe, also
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & a \\ 0& b &0 \\ c & 0 & 0 }.[/mm]
> Zu dieser
> Matrix habe ich das charakteristische Polynom berechenet,
> daraus die Eigenvektoren abgelesen und anschließend die
> Eingenvektoren berechnet. Aus den Eigenvektoren habe ich
> dann die Spalten der Matrix A gebildet.
> [mm]A=\pmat{\bruch{1}{c}\wurzel{ac}& 0 &-\bruch{1}{c}\wurzel{ac} \\ 0&1&0\\1&0&1 }[/mm]
>
> Zu dieser Matrix habe ich die Inverse gebildet
> A^-1 [mm]=\pmat{ \bruch{1}{2} \bruch{c} {\wurzel{ac}&0&\bruch{1}{2}}
\\0 & 1 & 0
\\ -\bruch{1}{2}\bruch{c}{\wurzel{ac}&0&\bruch{1}{2}}}[/mm]
Und was machst du, wenn $a = 0$ oder $c = 0$ ist?
LG Felix
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