Diagonalisierbar über \IR < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Di 05.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Ist die Behauptung wahr oder falsch?
Jede Matrix A [mm] \in M_{n \times n} (\IR) [/mm] für die [mm] A^2 [/mm] =A gilt, ist über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar. |
Hallo
Wenn A*A =A muss dann A nicht die Einheitsmatrix sein, wegen der Eindeutigkeit des Neutralen Elements?
Kann mich wer aufklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 05.03.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo sissile!
> Ist die Behauptung wahr oder falsch?
> Jede Matrix A [mm]\in M_{n \times n} (\IR)[/mm] für die [mm]A^2[/mm] =A
> gilt, ist über [mm]\IR[/mm] diagonalisierbar.
> Hallo
>
> Wenn A*A =A muss dann A nicht die Einheitsmatrix sein,
> wegen der Eindeutigkeit des Neutralen Elements?
Nicht unbedingt...
Wenn A invertierbar ist, folgt sofort
[mm]A*A*A^{-1}=A*A^{-1}[/mm] [mm]\Longleftrightarrow[/mm] [mm]A=E[/mm]
Falls A nicht invertierbar ist, gibt es aber auch noch Möglichkeiten mit [mm]A\neq E[/mm]. Z.B. [mm]A=\begin{pmatrix}0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&1\end{pmatrix}[/mm] oder [mm]A=\begin{pmatrix}0&0&0\\
0&0&0\\
0&1&1\end{pmatrix}[/mm].
Die Eigenschaft [mm]A^2=A[/mm] nennt man übrigens "idempotent". Zusammen mit "diagonalisierbar" spuckt google da ganz gute Ergebnisse aus. ![[]](/images/popup.gif) Hier z.B. wird genau deine Aufgabe besprochen.
(Das soll nicht heißen, dass ich dich für nicht fähig genug halte eine Suchmaschine zu benutzen, ich spar mir nur die Tipperei, weil's ja schon dort steht.)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Di 05.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo.
danke dafür.
Leider hatte ich den Satz nicht.
Das Abbildung genau dann diagonalisierbar ist, wenn das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
Das Minimalpolynom hat die gleichen Nullstellen wie das charakteristische Polynom. Also insbesondere also auch die gleichen Linearfaktoren.
Ich weiß dass eine Matrix diagonalisierbar ist wenn ihr charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt und algebraische und geometrische Virlefachheiten übereinstimmen.
Hilft mir das für einen Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:58 Di 05.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Zeige:
[mm] $\IR^n=Kern(A) \oplus Kern(E_n-A)$
[/mm]
und unterscheide 3 Fälle: A=0, [mm] A=E_n, [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] A [mm] \ne E_n.
[/mm]
Benutze die Definition von Diagonalisierbarkeit.
FRED
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