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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 So 04.07.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | | Seien M und N reelle, quadratische, symmetrische Matrizen. M sei zusätzlich positiv definit. Sie wissen bereits, dass es eine Matrix P gibt, sodass [mm] P^{T}*M*P [/mm] und [mm] P^{T}*N*P [/mm] diagonal sind. Zeigen oder widerlegen Sie, ob man die Spalten von P als Eigenvektoren der Matrix [mm] M^{-1}*N [/mm] wählen kann. |
Heyho!
Ich bin (da ich keine Ahnung habe, wie man das im Falle der Richtigkeit beweisen sollte) erstmal davon ausgegangen, dass die Aussage falsch ist.
Also hab ich versucht irgendein einfaches Beispiel zu finden, z. B. M als Einheitsmatrix wählen...
Aber irgendwie scheint das doch richtig zu sein oder ich wähle die Beispiele so doof, dass es grade richtig ist...
Aber nun geh ich mal davon aus, dass das richtig ist...
Kann man irgendwie ausrechnen, dass da Diagonalmatrizen rauskommen?
Habe also [mm] M^{-1}*N [/mm] die Eigenvektoren [mm] v_{1},..., v_{n}
[/mm]
Was ist dann
[mm] \pmat{ v_{1}^{T} \\ ... \\ v_{n}^{T} }*M*\pmat{ v_{1} & ... & v_{n} }
[/mm]
und
[mm] \pmat{ v_{1}^{T} \\ ... \\ v_{n}^{T} }*N*\pmat{ v_{1} & ... & v_{n} }
[/mm]
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Mo 05.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Seien M und N reelle, quadratische, symmetrische Matrizen.
> M sei zusätzlich positiv definit. Sie wissen bereits, dass
> es eine Matrix P gibt, sodass [mm]P^{T}*M*P[/mm] und [mm]P^{T}*N*P[/mm]
> diagonal sind. Zeigen oder widerlegen Sie, ob man die
> Spalten von P als Eigenvektoren der Matrix [mm]M^{-1}*N[/mm] wählen
> kann.
>
> Ich bin (da ich keine Ahnung habe, wie man das im Falle der
> Richtigkeit beweisen sollte) erstmal davon ausgegangen,
> dass die Aussage falsch ist.
> Also hab ich versucht irgendein einfaches Beispiel zu
> finden, z. B. M als Einheitsmatrix wählen...
> Aber irgendwie scheint das doch richtig zu sein oder ich
> wähle die Beispiele so doof, dass es grade richtig ist...
>
> Aber nun geh ich mal davon aus, dass das richtig ist...
Moeglich.
Stand in der Aufgabenstellung noch etwas genaueres zu $P$? Etwa das es orthogonal ist?
> Kann man irgendwie ausrechnen, dass da Diagonalmatrizen
> rauskommen?
>
> Habe also [mm]M^{-1}*N[/mm] die Eigenvektoren [mm]v_{1},..., v_{n}[/mm]
>
> Was ist dann
>
> [mm]\pmat{ v_{1}^{T} \\ ... \\ v_{n}^{T} }*M*\pmat{ v_{1} & ... & v_{n} }[/mm]
>
> und
> [mm]\pmat{ v_{1}^{T} \\ ... \\ v_{n}^{T} }*N*\pmat{ v_{1} & ... & v_{n} }[/mm]
>
> ?
Das sind Matrizen. Es koennen irgendwelche sein. (Ist etwa $M$ irgendeine Matrix und $N = [mm] M^{-1}$, [/mm] so kannst du irgendeine Basis von [mm] $\IR^n$ [/mm] als Eigenvektoren von [mm] $M^{-1} \cdot [/mm] N$ waehen, aber das sind seltenst zufaellig Eigenvektoren von $M$ und $N$.)
Fang lieber mit den Spalten von $P$ an. Mal angenommen $P$ ist orthogonal. Versuch mal [mm] $P^T M^{-1} [/mm] N P$ auszurechnen. Kommt eine Diagonalmatrix raus?
LG Felix
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