Dgl höherer Ordnung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Differentialgleichungen:
(a) y'' + [mm] (y')^2 [/mm] = [mm] 2e^{-y}
[/mm]
(b) xyy'' - [mm] x(y')^2 [/mm] = yy' |
Hallo,
also bei beiden müsste ja der Ansatz diese sein:
$ [mm] y_{1}=y [/mm] $
$ [mm] y_{2}=y_{1}'=y' [/mm] $
somit komme ich ja bei (a) auf:
[mm] y_2' [/mm] = [mm] (-y_2)^2 [/mm] + [mm] 2e^{-y_1}
[/mm]
und bei (b):
[mm] y_2' [/mm] = [mm] \bruch{y_2}{x} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{y_1}
[/mm]
aber wie gehts nun weiter? Seh leider nicht, wie die Differentialgleichungen zu lösen sind.
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 So 06.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Leipziger,
es bringt zum Lösen von DGL höherer Ordnung normalerweise wenig, sie in ein System von DGL 1. Ordnung umzuformen, vielmehr sollte man versuchen, den Grad der DGL zu reduzieren.
Bei a) gelingt dies, weil die DGL vom Typ y'' = f(y,y') ist, diesen Typ findet man in Büchern behandelt.
Bei b) hilt die Betrachtung von [mm] \bruch{y}{y'} [/mm] etwas; dies mal nach Quotientenregel differenzieren und scharf hinsehen.
Gruß
Uli
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Hallo uliweil,
danke für deine Antwort. Man hat uns in der Übung eben geraten, wir sollen die Ordnung reduzieren, was ich nachvollziehen kann. Wie man den Grad reduziert weiß ich leider auch nicht.
Ich werde nach dem Dgl-Typ bei (a) suchen, aber ich nehme stark an, wenn sie uns den Tipp geben, wollen sie das wohl auch auf die Art und Weise gelöst haben.
Vielleicht hättest du ja einen Link parat, in dem so ein Typ mal vorgestellt wird, damit ich weiß, wie man da vorgehen müsste.
Habe jetzt zu (b) eine Lösung:
Wir haben hier ja die Form y''= f(x)·y' + g(y)·y'^2 = 0
Der Ansatz: y' = p(x)q(y)
Mit diesem komme ich dann auf: ln(y) = [mm] C_1*\bruch{1}{2}x^2+C_2
[/mm]
==> [mm] y=e^{C_1*\bruch{1}{2}x^2+C_2}
[/mm]
Ist das korrekt?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 06.12.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Leipziger,
ich habe einen Link für Aufgabe a) gefunden, hier wird die Ordnung (=anderes Wort für Grad) wie vorgegeben reduziert:
http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/dgl3.pdf
siehe 2. Typ.
Deine Lösung von b) ist soweit richtig, allerdings gibt es noch eine weitere ganz einfache Lösung, die man nicht vergessen sollte.
Gruß
Uli
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Danke für die Antwort.
Theoretisch müsste bei (b) ja auch y = C eine Lösung sein oder?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 So 06.12.2009 | | Autor: | uliweil |
So ist es (wobei ganz exakt ein c [mm] \ne [/mm] 0 auch noch mit C1 und C2 herstellbar wäre, aber nicht mehr c=0).
Gruß
Uli
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So nun zu (a):
Mit der Seite habe ich jetzt die Umformung auf
[mm] p*\bruch{dp}{dy} [/mm] = [mm] 2e^{-y}-p^2
[/mm]
gebracht. Nun gibts sicher eine schlaue Substitution, mit der man diese Dgl leicht lösen kann, leider seh ich die nicht. Hat Jemand vielleicht einen Tipp?
Edit: Habe noch etwas rumprobiert und die Gleichung jetzt so umgestellt:
p' = (-1)*p+ [mm] (2e^{-y})*p^{-1}
[/mm]
Ich habe jetzt versucht das mit Bernoulli zu lösen und bin auf
y' = [mm] \wurzel{2e^{-y} + 2Ce^{-2y}} [/mm]
gekommen, bevor ich mich damit jedoch rumärger wollte ich erstmal wissen, ob das überhaupt stimmt?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> So nun zu (a):
>
> Mit der Seite habe ich jetzt die Umformung auf
>
> [mm]p*\bruch{dp}{dy}[/mm] = [mm]2e^{-y}-p^2[/mm]
>
> gebracht. Nun gibts sicher eine schlaue Substitution, mit
> der man diese Dgl leicht lösen kann, leider seh ich die
> nicht. Hat Jemand vielleicht einen Tipp?
>
> Edit: Habe noch etwas rumprobiert und die Gleichung jetzt
> so umgestellt:
> p' = (-1)*p+ [mm](2e^{-y})*p^{-1}[/mm]
>
> Ich habe jetzt versucht das mit Bernoulli zu lösen und bin
> auf
> y' = [mm]\wurzel{2e^{-y} + 2Ce^{-2y}}[/mm]
> gekommen, bevor ich mich damit jedoch rumärger wollte ich
> erstmal wissen, ob das überhaupt stimmt?
Die Lösung muß hier lauten:
[mm]y' = \wurzel{\red{4}e^{-y} + 2Ce^{-2y}}[/mm]
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Ok, also Zwischenergebnis bekomme ich
[mm] \bruch{e^y*\wurzel{e^{-2y}*(c+2e^y)}}{\wurzel{2}}=x
[/mm]
und komme damit auf
[mm] y=ln(x^2-0.5*c)
[/mm]
Stimmt das?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 06.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1, Dgl 2. Ordnung folgt du brauchst 2 Konstanten.
2. obs dann stimmt sieht man selbst am schnellsten, indem man die lösg in die Dgl einsetzt. dazu brauchst du solange wie ich.
Gruss leduart
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Da hast du natürlich Recht leduart.
[mm] \bruch{e^y\cdot{}\wurzel{e^{-2y}\cdot{}(C_1+2e^y)}}{\wurzel{2}}=x+C_2
[/mm]
--> [mm] y=ln(C_2^2+x^2+2x*C_2-0.5*C_1)
[/mm]
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Hallo Leipziger,
> Da hast du natürlich Recht leduart.
>
> [mm]\bruch{e^y\cdot{}\wurzel{e^{-2y}\cdot{}(C_1+2e^y)}}{\wurzel{2}}=x+C_2[/mm]
>
> --> [mm]y=ln(C_2^2+x^2+2x*C_2-0.5*C_1)[/mm]
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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