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Dgl.: Lösungsweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Do 29.06.2006
Autor: preisermaxx

Aufgabe
  Hallo

Suche die Lösung für folgende Differentialgleichung.

2xy''- y' = 0

AW: y(4) = 0   und   y'(4) = -3

Versuche die Dgl. durch Substituion auf eine Dgl. 1. Ordnung zu bringen.


u =  y'
u' = y''


somit folgt:   2xu' - u = 0

dann durch Trennen der Veränderlichen komm ich auf..

du/dx = dx/2x

durch integration

ln u = 0.5 ln 2x + ln C

u = Cx = y'

komme dann auf unbrauchbare Ergebnisse

Die Lösung lautet  y = -x [mm] (x)^1/2 [/mm] + 8

Weis vielleicht jemand wie man auf das Ergebnis kommt?

Danke

preisermaxx


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Dgl.: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Do 29.06.2006
Autor: Loddar

Hallo preisermaxx!


> dann durch Trennen der Veränderlichen komm ich auf..
> du/dx = dx/2x

Bestimmt nur vertippt ... Du meinst doch:   [mm] $\bruch{du}{\red{u}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{dx}{x}$ [/mm]

  
> durch integration
>  
> ln u = 0.5 ln 2x + ln C

[notok] Wie kommst Du denn hier auf den Faktor $2_$ im [mm] $\ln(...)$-Argument? [/mm] Stimmt ...Das kann man so machen, aber Du könntest dann diesen Faktor auch in die Integrationskonstante ziehen.


Fasse nun gemäß MBLogarithmusgesetz zusammen:   [mm] $m*\log_b(a) [/mm] \ = \ [mm] \log_b\left(a^m\right)$ [/mm]

[mm] $\ln(u) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln(x)+\ln(C) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(x^{\bruch{1}{2}}\right)+\ln(C) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\wurzel{x}\right)+\ln(C) [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(C*\wurzel{x}\right)$ [/mm]


Kommst Du nun damit weiter und auf das vorgegebene Ergebnis?


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Dgl.: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Do 29.06.2006
Autor: preisermaxx

Danke

Hast recht hab mich vertippt. du/u
bin jetzt auf das Ergebnis gekommen.

Du sagst es gibt noch einen anderen Weg?

Grüße

Preisermaxx


Bezug
                        
Bezug
Dgl.: "anderer Weg"
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:19 Do 29.06.2006
Autor: Loddar

Hallo preisermaxx!


Ich meinte nur, dass ich bei der Schreibweise [mm] $\bruch{1}{2}*\blue{\integral}{\bruch{dx}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln(x)$ [/mm] gar nicht erst den Faktor $2_$ in das Argument der [mm] $\ln(...)$-Funktion [/mm] erhalte.


Gruß
Loddar

Bezug
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