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| Aufgabe | Sei $A [mm] \in K^{m\times n}$. [/mm] Sind [mm] $1\leq [/mm] s [mm] \leq [/mm] n$ und [mm] $1\leq s\leq [/mm] m$, so ist eine [mm] $r\times [/mm] s $ Untermatrix von $A$ eine Matrix, die man durch Streichen von $m-r$ Zeilen und $n-s $ Spalten aus $A$ erhält.
Der Determinantenrang $detrang(A)$ einer Matrix [mm] $A\neq [/mm] 0$ ist das größte [mm] $1\leq [/mm] r [mm] \leq [/mm] min(n,m)$ so, dass eine [mm] $r\times [/mm] r$ Untermatrix $B$ von $A$ existiert mit $detB [mm] \neq [/mm] 0$.
Sei $A [mm] \in K^{n\times n}$ [/mm] mit $A [mm] \neq [/mm] 0$.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] $detrang(A)\ge [/mm] rang(A)$
(b) Zeigen Sie, dass $detrang(A) [mm] \leq [/mm] rang(A)$ |
Guten Tag
ich sitze schon eine weile an der Aufgabe oben, komme aber einfach nicht weiter.
Mir fehlt jeglicher Ansatz und wäre sehr Dankbar über kleine Denkanstöße und Tipps!
Vielen Dank
DudiPupan
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moin,
Wie berechnest du den (klassischen) Rang einer Matrix?
Nimmst du dafür den Gaußalgorithmus?
Zeige am besten, dass der Gaußalgorithmus den Determinantenrang nicht änert, indem du es für jede der drei Operationen einzeln zeigst.
Wenn dir das noch nicht reicht dann bedenke, dass das Transponieren einer Matrix die Determinante nicht ändert, du kannst also auch auf die Spalten einen Gaußalgorithmus loslassen (das muss natürlich noch gezeigt werden).
Hast du dann deine Matrix mit dem Zeilen- und Spaltengauß auf eine schöne Form gebracht, so kannst du Rang und Determinantenrang praktisch auf dieselbe Art ablesen und siehst daran, dass sie gleich sind.
lg
Schadowmaster
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