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| Aufgabe 1 | Aufgabe 4:
Sei K ein Körper und
$A = [mm] \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}$,
[/mm]
wobei [mm] $A_{ij} \in K^{n_i,n_j}$ [/mm] für $i,j [mm] \in [/mm] {1,2}$ und [mm] $n_1,n_2 \in \IN$. [/mm] Zeigen Sie:
Ist [mm] $A_{11} \in GL_n(K)$, [/mm] so gilt $det(A) = [mm] det(A_{11}) \cdot det(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})$. [/mm] |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 5:
Sei K ein Körper mit $1+1 [mm] \not= [/mm] 0$ und sei $S [mm] \in K^{n,n}$ [/mm] schiefsymmetrisch, d.h.$S = [mm] -S^T$. [/mm] Zeigen Sie, dass dann ein [mm] $\lambda \in [/mm] K$ existiert, so dass
$det(S) = [mm] \lambda^2$.
[/mm]
(Hinweis: Zeigen Sie die Aussage für gerades und ungerades n getrennt voneinander. Führen Sie für $n=2m, m [mm] \in \IN$, [/mm] eine Induktion über m durch. Die 4. Aufgabe kann ebenfalls hilfreich sein.) |
Das eigentliche Problem schlummert in 5.
Aber vorerst 4.
Aufgabe 4:
Sei K ein Körper und $A = [mm] \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix}$.
[/mm]
[mm] $A_{11} \in GL_n(K)$ [/mm] heißt insbesondere, dass zu [mm] A_{11} [/mm] ein inverses Element existiert, sodass [mm] $A_{11}A_{11}^{-1} [/mm] = [mm] I_n$ [/mm] gilt.
Dann gilt ebenfalls:
$A = [mm] \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \overset{G_{21}(-A_{11}^{-1}A_{21})}{\rightarrow} \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ A_{21}-A_{11}A_{11}^{-1}A_{21} & A_{22}-A_{12}A_{11}^{-1}A_{21}\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22}-A_{12}A_{11}^{-1}A_{21}\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] det(A) = [mm] det(A_{11}) \cdot det(A_{22}-A_{12}A_{11}^{-1}A_{21})$
[/mm]
Fertig.
Zu Aufgabe 5. Mir fehlt schon irgendwie der Ansatz. Glaube ich zumindest. Ich glaube der Hinweis zu Aufgabe 4 verwirrt mich mehr als das er hilft.
Ich geb einfach meine geistigen Ergüsse zu "Papier". Vielleicht ist etwas brauchbares darunter.
Also ich hab mir das wie folgt gedacht:
$det(S) = [mm] det(-S^T) [/mm] = [mm] det((-1)S^T) [/mm] = [mm] (-1)^n det(S^T) [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] det(S)$
Womit ich mich im Kreis bewegt hätte. Allerdings kann ich hier eine Abhängigkeit von geraden n bzw. ungeraden n erkennen.
1) n gerade: det(S) = det(S) (hmm, ja. Muss ja stimmen. *schmunzel* Aber wie komm ich nu weiter?)
2) n ungerade: det(S) = -det(S) [mm] \Rightarrow [/mm] 2det(S) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] det(S) = 0
Hmm. Irgendwie hab ich jetzt allerdings den Faden verloren. Könnt ihr mir weiterhelfen?
Vielen dank schon mal im Voraus und liebe Grüße
André
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 31.01.2011 | | Autor: | pyw |
Moin,
der Hinweis steht in der Aufgabenstellung: Induktion 
IA (m=1, [mm] n=2\cdot [/mm] 1=2):
[mm] S_2=\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ -a & -c \\ -b & -d }=-S_2^T
[/mm]
Also hat [mm] S_2 [/mm] die Gestalt [mm] \pmat{ 0 & c \\ -c & 0 } [/mm] (entsprechende Einträge der Matrizen vergleichen) und es gilt [mm] \det(S_2)=0-c(-c)=c^2. [/mm] OK!
IS [mm] (m\Rightarrow [/mm] (m+1), bzw. [mm] n=2m\Rightarrow [/mm] n=2(m+1)=2m+2):
Hier kommt die in Aufgabe 4 bewiesene Formel zum Einsatz, denn mit [mm] S_{2m+2}=\begin{bmatrix}S_{11} & S_{12} \\ S_{21} & S_{22}\end{bmatrix}, [/mm] wobei [mm] S_{11}\in GL_{2m}(K), [/mm] gilt [mm] \det(S_{2m+2})=\det(S_{11})\cdot \det(S_{22}-S_{12}S_{11}^{-1}S_{21}).
[/mm]
Warum ist das nun aber quadratisch?
Hier kannst du noch ein bisschen weiter denken ;)
Gruß,
pyw
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