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| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und U ein m-dimensionaler Untervektorraum von V. Sei $ [mm] (u_{1}, [/mm] $ ..., $ [mm] u_{m}) [/mm] $ eine Basis von U und
w: $ [mm] V^{n} \to [/mm] $ K eine Determinantenform auf V. Setze k:= n-m. Zeigen Sie, dass
$ [mm] w_{u_{1},...,u_{m}}:(V/U)^{k} \to [/mm] $ K,
$ [mm] (v_{1}+U,...,v_{k}+U) \mapsto [/mm] $ w $ [mm] (u_{1},...,u_{m}, v_{1},...,v_{k}) [/mm] $ eine Determinantenform auf V/U definiert. |
Hallo,
ich habe da schon einen Ansatz. Also meiner Meinung nach, muss ich 3 Sachen zeigen:
1. Multilinearität
2. dass die Abbildung alternierend ist
3. Wohldefiniertheit.
Ich habe da schon eine Rechnung, bei der ich aber ein ziemlich schlechtes Gefühl habe.
zu 1:
[mm]\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}+v_{i}^{'}+U,....,v_{k}+U)&=&\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i}+v_{i}^{'},...,v_{k})\\&=&\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i},...,v_{k})+\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i}^{'},...,v_{k})\\&=&\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}+U,....,v_{k}+U)+\\&&\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}^{'}+U,....,v_{k}+U)\\&=&\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}+U,....,v_{k}+U)+\\&&\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}^{'}+U,....,v_{k}+U)[/mm]
und
[mm]\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}+\lambda v_{i}^{'}+U,....,v_{k}+U)&=&\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i}+\lambda v_{i}^{'},...,v_{k})\\&=&\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i},...,v_{k})+\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,\lambda v_{i}^{'},...,v_{k})\\&=&\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i},...,v_{k})+\lambda\omega(u_{1},...,u_{m},v_{1},....,v_{i}^{'},...,v_{k})\\&=&\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}+U,....,v_{k}+U)+\\&&\lambda\omega_{(u_{1},...,u_{m})}(v_{1}+U,...,v_{i}^{'}+U,....,v_{k}+U)[/mm]
zu 2. Das geht ähnlich, möchte dies aber nicht alles noch einmal abschreiben.
Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt bzw. was ich falsch gemacht habe und wie ich es ändern muss?
Außerdem weiß ich noch nicht, wie ich die Wohldefiniertheit nachweise.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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