Determinante von e-Funktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Di 10.07.2007 | | Autor: | miamias |
| Aufgabe | [mm] A\in M_{n} (\IC) [/mm] Zeige: det [mm] e^{A}=e^{trA}
[/mm]
Hinweis: Betrachte die Jordansche Normalform von A |
Also es gilt doch folgendes:
det [mm] e^{A} [/mm] = det [mm] e^{Q^{-1}JQ}, [/mm] wobei J Jordanmatrix ist.
Daher gilt: det [mm] e^{A} [/mm] = det [mm] (Q^{-1}e^{J}Q) [/mm] = (det [mm] Q)^{-1} [/mm] det Q det [mm] e^{J} [/mm] =det [mm] e^{J}
[/mm]
Nun weiss ich leider nicht mehr weiter. Wie kann man da weiter kommen?
MfG
miamias
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Hallo miamias!
Was heißt tr
Grüße Martha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Di 10.07.2007 | | Autor: | miamias |
tr bedeutet Trace oder Spur
mfg
miamias
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Hallo miamias!
Berechne Transponierte Matrix von A(vertausche Zeilen und Spalten)
Berechne exp(Transponierte Matrix A)
Vergleiche det exp(A) und exp(Transponietre Matrix A);
Grüße Martha.
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Hallo miamias!
Berechne:trA=summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen
Berechne:exp(trA)
Vergleiche det(exp(A)) und exp(trA)
Grüßße Martha.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 10.07.2007 | | Autor: | miamias |
Also [mm] e^{trA} [/mm] ist doch [mm] e^{\summe_{i=1}^{n}a_{ii}}, [/mm] wobei [mm] a_{ii} [/mm] der Eintrag in der i-ten Zeile und i-ten Spalte von A ist.
Daher [mm] e^{trA}= \produkt_{i=1}^{n}e^{a_{ii}}
[/mm]
Soweit is doch richtig, oder?
[mm] J=\pmat{ J_{1} & 0... & 0 \\ 0...0 & ... & 0...0 \\ 0 & ...0 & J_{s}} [/mm] Also in der Diagonale die Einträge [mm] J_{1} [/mm] bis [mm] J_{s}
[/mm]
und det [mm] e^{A} [/mm] = det [mm] e^{J} [/mm] = det [mm] \pmat{ e^{J_{1}} & 0... & 0 \\ 0...0 & ... & 0...0 \\ 0 & ...0 & e^{J_{s}}} [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{s} e^{\lambda_{s}}, [/mm] wobei [mm] \lambda_{s} [/mm] die Eigenwerte von A sind. Aber da hab ich doch was falsch gemacht!?
Mit dem A transponiert ändert sich doch nichts oder? det [mm] e^{A} [/mm] = det [mm] e^{A transponiert}, [/mm] da doch [mm] e^{A}transponiert [/mm] = [mm] e^{A transponiert}, [/mm] oder?
mfg
miamias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Di 10.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo miamias!
Die Spur einer quadratischen Matrix ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Di 10.07.2007 | | Autor: | miamias |
Dann hab ich ja das Ergebnis schon da stehen, danke für diesen Zusammenhang.
Und nochmals danke für eure Hilfe
mfg
miamias
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