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Determinante einer 4x4-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:17 Do 04.08.2011
Autor: dragon89

Aufgabe
A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & t & 5 \\ -1 & 1 & 1 & 8 \\ 2 & -1 & 0 & 3} [/mm]

Zeile 2 wird mit 2 multipliziert und die 1. Zeile zur 2. Zeile addiert.
Zeile 3 wird mit 2 multipliziert und die 1. Zeile zur 3. Zeile addiert.
Zeile 4 wird mit -1 multipliziert und die 1. Zeile zur 4. Zeile addiert.

--> [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2t & 12 \\ 0 & 1 & 2 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm]

Zeile 3 wird mit -5 multipliziert und die 2. Zeile durch 3. Zeile addiert.

--> [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2t & 12 \\ 0 & 0 & 2t-10 & -78 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm]

det(A) = 2*2*(-1)*(-5)*2*5*(2t-10)*(-1)
       = -400t + 2000


Wo ist der Fehler in der obigen Determinantenberechnung mittels Gauß?

Gruß
dragon89

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)

        
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Do 04.08.2011
Autor: barsch

Hallo,

[mm] \red{Edit:} [/mm] Siehe hier.


Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Do 04.08.2011
Autor: dragon89

Aber die Determinante ist doch soweit ich weiß eindeutig.

Für z.B. t = 1:

5 - 1 = 4
-400 * 1 + 2000 = 1600

Die Ergebnisse sind offensichtlich ungleich.


Bezug
                        
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Do 04.08.2011
Autor: barsch

Hey,


> Aber die Determinante ist doch soweit ich weiß eindeutig.

ja, mein Fehler. Habe nicht aufgepasst. Sorry. Aber du hast ja wenigstens aufgepasst. Hatte meinen Beitrag zwischenzeitlich geändert, aber da hattest du sicher die fehlerhafte Antwort bereits gelesen.

> Für z.B. t = 1:
>  
> 5 - 1 = 4
>  -400 * 1 + 2000 = 1600
>  
> Die Ergebnisse sind offensichtlich ungleich.

Du hast natürlich recht.

Wie bist du denn bei deiner Berechnung der Determinante vorgegangen? Gauß hast du korrekt angewendet.

Gruß
barsch


Bezug
                                
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 04.08.2011
Autor: dragon89

Hi,

eigentlich habe ich alle Schritte im ersten Beitrag beschrieben.

Dort steht auch das ich Zeile 2 mit 2 multipliziert habe, Zeile 3 mit 2, Zeile 4 mit -1 und Zeile 3 mit -5. Diese Faktoren müssen also zum Produkt der Diagonalen dazu multipliziert werden, was ich auch getan habe:

det(A) = 2*2*(-1)*(-5)*2*5*(2t-10)*(-1)
       = -400t + 2000


Bezug
                                        
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 Do 04.08.2011
Autor: barsch

Hallo,

A = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & t & 5 \\ -1 & 1 & 1 & 8 \\ 2 & -1 & 0 & 3} [/mm],



> --> [mm] A_{Dreiecksmatrix}:=\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2t & 12 \\ 0 & 0 & 2t-10 & -78 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm]

ist korrekt.

Nun ist:

[mm]Det(A_{Dreiecksmatrix})=Det(\pmat{ 2 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 5 & 2t & 12 \\ 0 & 0 & 2t-10 & -78 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } )=2*5*(2t-10)*(-1)=100-20t[/mm]

Jetzt müssen wir deine elementaren Zeilenumformungen und die Eigenschaften der Determinante berücksichtigen und dann ist:

[mm]Det(A_{Dreiecksmatrix})=2*2*(-1)*(-5)*Det(A)[/mm]

Und somit ist

[mm]Det(A)=Det(A_{Dreiecksmatrix})*\frac{1}{2*2*(-1)*(-5)}=\frac{100-20t}{20}=5-t[/mm].

Schwere Geburt, aber was lange währt, wird endlich gut.

Gruß
barsch


Bezug
                                                
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:48 Do 04.08.2011
Autor: dragon89

Alles klar. So funktioniert es!

Vielen Dank.

Gruß
dragon89

Bezug
        
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Do 04.08.2011
Autor: barsch

[mm] \red{Edit:} [/mm] Siehe Antwort hier.
Bezug
        
Bezug
Determinante einer 4x4-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Do 04.08.2011
Autor: barsch

Hi,

sorry, ich denke, wir müssen uns beide noch einmal die Rechenregeln für Determinanten ansehen [grins]

Du multiplizierst ja mit Skalaren. Und es ist natürlich

[mm] $det(x1,...,\lambda*x_i,...,x_n)=\lambda*det(x1,...,x_i,...,x_n)$ [/mm]

Deswegen hast du auch ein Vielfaches von (5-t). Du musst das natürlich in deiner Berechnung beachten.

Am besten wäre natürlich eine alternative Vorgehensweise, wie z.B. die Entwicklung nach LaPlace:

[]http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante_%28Mathematik%29#Laplacescher_Entwicklungssatz

Gruß
barsch

sorry, dass ich dich erst in die Irre geführt habe. Aber du hast ja mitgedacht.


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