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| Aufgabe | Berechnen Sie die Determinante der [mm] n\times n[/mm]-Matrix [mm]A=(a_{ij})[/mm] mit den Einträgen [mm] a_{ij}=(i+j-1) [/mm]
für alle [mm] i,j \in {1,2,...,n}[/mm] |
Hallo,
um mit der Aufgabenstellung besser arbeiten zu können habe ich mir mal die Matrix aufgeschrieben. Die sollte dann hoffentlich so aussehen:
[mm] (a_{ij})=\begin{pmatrix}1 & 4 & 9 & \cdots & n^{2}\\
4 & 9 & ... & & (n+1)^{2}\\
9 & ... & & & (n+2)^{2}\\
\vdots & & & & \vdots\\
n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & ... & (2n-1)^{2}\end{pmatrix}[/mm].
Stimmt das soweit?
Wie komme ich jetzt am besten auf die Determinante. Ich werd daraus nämlich nicht schlau.
Was ich mir bisher gedacht habe ist, dass ich eventuell Vertauschungen durchführen müsste. Da komme ich dann aber auch nicht mit weiter.
Dann dachte ich mir, dass man vielleicht mit dem binomischen Lehrsatz argumentieren könnte, also [mm] (i+j-1)^2 [/mm] einfach entsprechend anders schreibt.
Aber das bringt mich alles nicht so richtig voran. Welcher Ansatz ist der vernünftigste?
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> Berechnen Sie die Determinante der [mm]n\times n[/mm]-Matrix
> [mm]A=(a_{ij})[/mm] mit den Einträgen [mm]a_{ij}=(i+j-1)[/mm]
> für alle [mm]i,j \in {1,2,...,n}[/mm]
> Hallo,
> um mit der Aufgabenstellung besser arbeiten zu können habe
> ich mir mal die Matrix aufgeschrieben. Die sollte dann
> hoffentlich so aussehen:
> [mm](a_{ij})=\begin{pmatrix}1 & 4 & 9 & \cdots & n^{2}\\
4 & 9 & ... & & (n+1)^{2}\\
9 & ... & & & (n+2)^{2}\\
\vdots & & & & \vdots\\
n^{2} & (n+1)^{2} & (n+2)^{2} & ... & (2n-1)^{2}\end{pmatrix}[/mm].
> Stimmt das soweit?
> Wie komme ich jetzt am besten auf die Determinante. Ich
> werd daraus nämlich nicht schlau.
> Was ich mir bisher gedacht habe ist, dass ich eventuell
> Vertauschungen durchführen müsste. Da komme ich dann aber
> auch nicht mit weiter.
> Dann dachte ich mir, dass man vielleicht mit dem
> binomischen Lehrsatz argumentieren könnte, also [mm](i+j-1)^2[/mm]
> einfach entsprechend anders schreibt.
>
> Aber das bringt mich alles nicht so richtig voran. Welcher
> Ansatz ist der vernünftigste?
Hallo!
Mit der Angabe in der Aufgabenstellung komme ich auf die Matrix:
[mm](a_{ij})=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\
2 & 3 & ... & & n+1\\
3 & ... & & & n+2 \\
\vdots & & & & \vdots\\
n & n+1 & n+2 & ... & 2n-1\end{pmatrix}[/mm]
Zum Beispiel ist [mm] a_{1_{2}} [/mm] = 1+2 - 1 = 2
Diese Determinante dürfte relativ flott zu berechnen sein, indem man die erste Zeile von jeder der darauffolgenden abzieht. Dann entsteht eine Matrix, in welcher die 2. Zeile mit Einsen, die 3. Zeile mit Zweien, ... gefüllt ist. Die Zeilen sind also linear abhängig -->  Was ist die Determinante?
Grüße,
Stefan.
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Okay. Dann hättest du mit deiner Matrix natürlich recht. Aber mir ist ein Fehler unterlaufen. Die Einträge sind [mm] a_{ij}=(i+j-1)^2 [/mm].
Passt meine Matrix dann?
Nun kann man den Trick mit dem Abziehen der ersten Zeile nicht mehr machen. Wie geht man also am besten vor?
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Hallo!
Ja, dann stimmt deine Matrix. Ich empfehle trotzdem, die Zeilen voneinander abzuziehen:
[mm] $n^{2}-(n-1)^{2} [/mm] = 2n-1$
[mm] $(n-1)^{2}-(n-2)^{2} [/mm] = 2n-3$
[mm] $(n-2)^{2}-(n-3)^{2} [/mm] = 2n-5$
Für ein kleines Beispiel, das allgemeine überlasse ich dir :
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ 9 & 16 & 25 & 36 & 49 \\ 16 & 25 & 36 & 49 & 64 \\ 25 & 36 & 49 & 64 & 81 }
[/mm]
--> nach Abzug der 4. von der 5. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 4 & 9 & 16 & 25 & 36 \\ 9 & 16 & 25 & 36 & 49 \\ 16 & 25 & 36 & 49 & 64 \\ 9 & 11 & 13 & 15 & 17 }
[/mm]
--> nach Abzug der 3. von der 4. Zeile, etc.:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \\ 7 & 9 & 11 & 13 & 15 \\ 9 & 11 & 13 & 15 & 17 }
[/mm]
--> nach Abzug der 4. von der 5. Zeile:
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ 3 & 5 & 7 & 9 & 11 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 2 }
[/mm]
... Nun ja, was passiert nun
Allerdings sollte man evtl noch kleine nxn-Matrizen wie 2x2 extra betrachten.
Grüße,
Stefan.
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