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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:46 Mo 29.05.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und X [mm] \IN [/mm] M(n×n, [mm] \IC) [/mm] eine komplexe Matrix, etwa X = A+iB mit A,B [mm] \in [/mm] M(n×n, [mm] \IR) [/mm] . Wir bezeichnen mit X' := [mm] \pmat{ A & -B \\ B & A } \in [/mm] M(2n x 2n, [mm] \IR) [/mm] die zu X gehörende reelle Matrix.
Zeige: [mm] det_{ \IR }(X') [/mm] = | [mm] det_{ \IC }(X) |^{2}
[/mm]
Tipp: Man berechne: [mm] \pmat{ E_{n} & 0 \\ -i E_{n} & E_{n} } [/mm] * X' * [mm] \pmat{ E_{n} & 0 \\ i E_{n} & E_{n} } [/mm] |
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich schon länger mit dieser Aufgabe, komme aber nicht wirklich weiter und muss ehrlich zugeben, dass ich bisher auch noch nicht mehr geschafft hab als den Tipp auszurechnen.
Dazu:
sei A := ( [mm] a_{ij} [/mm] ) und B := ( [mm] b_{ij} [/mm] )
sei C [mm] \in [/mm] M(n x x, [mm] \IC [/mm] ) per Df ( [mm] c_{ij} [/mm] ) mit [mm] c_{ij} =\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \not= j \mbox{ i,j = 1, ... , n} \\ a_{ij} - b_{ij}, & \mbox{für } i = j \mbox{ i,j = 1, ..., n} \end{cases}
[/mm]
sei D [mm] \in [/mm] M(n x x, [mm] \IC [/mm] ) per Df ( [mm] d_{ij} [/mm] ) mit [mm] d_{ij} =\begin{cases} 0, & \mbox{für } i \not= j \mbox{ i,j = 1, ... , n} \\ a_{ij} + b_{ij}, & \mbox{für } i = j \mbox{ i,j = 1, ..., n} \end{cases}
[/mm]
dann gilt:
[mm] \pmat{ E_{n} & 0 \\ -i E_{n} & E_{n} } [/mm] * X' * [mm] \pmat{ E_{n} & 0 \\ i E_{n} & E_{n} } [/mm] = [mm] \pmat{ C & -B \\ 0 & D }
[/mm]
So weiter komme ich nicht. Kann mir vielleicht jemand einen Denkanstoß geben? Danke schon mal. Grüße, Patrick
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Hallo und guten Morgen,
es ist ja
[mm] X'':=\:\: \pmat{ E_n & 0 \\ -iE_n & E_n}\cdot\pmat{ A & -B\\ B & A}\cdot\pmat{E_n & 0 \\ iE_n & E_n}
[/mm]
= [mm] \pmat{A-iB & B \\ 0 & A+iB}
[/mm]
und somit
[mm] \det_{\IC}(X'')=\det_{\IC}(A-iB)\cdot \det_{\IC}(A+iB)=\det_{\IC}((A-iB)(A+iB))=\det_{\IC}(A^2+ B^2)=\det_{\IR}(A^2+B^2)
[/mm]
Nun ist weiterhin
[mm] \det_{\IC}\pmat{ E_n & 0 \\ -iE_n & E_n}=\det_{\IC}\pmat{E_n & 0 \\ iE_n & E_n}=1
[/mm]
und mithin
[mm] \det_{\R}(X')=\det_{\IC}(X')=\det_{\IC}(X'')=\det_{\IC}((A-iB)(A+iB))
[/mm]
Da der Betrag mit der Determinante und dem Quadrieren vertauscht, gilt ausserdem
[mm] |\det_{\IC}(X)|^2=\det_{\IC}(|X|)^2=\det_{\IC}((A+iB)(A-iB))^2
[/mm]
Und dann steht es doch schon fast da.....
Gruss,
Mathias
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