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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | Es sei [mm] D_{2} [/mm] : [mm] M_{2,2}(K) \to [/mm] K die aus der Vorlesung bekannte Determinante, die für A [mm] :=\pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
durch [mm] D_{2}(A) [/mm] := ad − bc definiert ist.
a) Zeigen Sie, dass [mm] D_{2} [/mm] eine Determinantenfunktion ist.
b) Zeigen Sie, dass für zwei Matrizen A,B [mm] \varepsilon M_{2,2}(K)
[/mm]
[mm] D_{2}(AB) [/mm] = [mm] D_{2}(A)D_{2}(B)
[/mm]
gilt und folgern Sie damit, dass A genau dann invertierbar ist, wenn [mm] D_{2}(A) \not= [/mm] 0. |
Hallo, ich konnte bis jetzt die Teilaufgabe a zeigen, und dass [mm] D_{2}(AB)=D_{2}(A)*D_{2}(B) [/mm] gilt. Aber wie kann ich daraus schließen, dass A invertierbar ist, wenn [mm] D_{2}(A) \not=0 [/mm] ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lucy234,
> Es sei [mm]D_{2}[/mm] : [mm]M_{2,2}(K) \to[/mm] K die aus der Vorlesung
> bekannte Determinante, die für A [mm]:=\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> durch [mm]D_{2}(A)[/mm] := ad − bc definiert ist.
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]D_{2}[/mm] eine Determinantenfunktion ist.
> b) Zeigen Sie, dass für zwei Matrizen A,B [mm]\varepsilon M_{2,2}(K)[/mm]
>
> [mm]D_{2}(AB)[/mm] = [mm]D_{2}(A)D_{2}(B)[/mm]
> gilt und folgern Sie damit, dass A genau dann invertierbar
> ist, wenn [mm]D_{2}(A) \not=[/mm] 0.
> Hallo, ich konnte bis jetzt die Teilaufgabe a zeigen, und
> dass [mm]D_{2}(AB)=D_{2}(A)*D_{2}(B)[/mm] gilt. Aber wie kann ich
> daraus schließen, dass A invertierbar ist, wenn [mm]D_{2}(A) \not=0[/mm]
> ist?
Naja, du hast ja in Teil 2 von (b) eine Äquivalenz zu zeigen, also die Richtung
(1) $A$ invertierbar [mm] $\Rightarrow D_2(A)\neq [/mm] 0$
(2) [mm] $D_2(A)\neq 0\Rightarrow [/mm] A$ invertierbar
Die Richtung (1) ist einfach, wenn $A$ invertierbar ist, so existiert [mm] $A^{-1}$
[/mm]
und es ist [mm] $D_2(AA^{-1})=D_2(E)=1=D_2(A)\cdot{}D_2(A^{-1})$ [/mm] nach Teil 1 von (b)
Daraus folgt, dass [mm] $D_2(A)\neq [/mm] 0$ Warum?
Die andere Richtung (2) ist etwas vertrackter, nehmen wir $A$ mit den Einträgen wie oben, dann ist mit [mm] $D_2(A)\neq [/mm] 0$ insbesondere [mm] $ad-bc\neq [/mm] 0$
Also auch [mm] $\frac{1}{ad-bc}\neq [/mm] 0$
Versuche mal, ob es die Matrix [mm] $X:=\frac{1}{ad-bc}\cdot{}\pmat{d&-b\\-c&a}$ [/mm] als Inverse zu $A$ tut, falls ja, so hast du eine, also die Inverse zu $A$ gefunden, und es ist [mm] $X=A^{-1}$
[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
> Naja, du hast ja in Teil 2 von (b) eine Äquivalenz zu
> zeigen, also die Richtung
>
> (1) [mm]A[/mm] invertierbar [mm]\Rightarrow D_2(A)\neq 0[/mm]
>
> (2) [mm]D_2(A)\neq 0\Rightarrow A[/mm] invertierbar
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> Die Richtung (1) ist einfach, wenn [mm]A[/mm] invertierbar ist, so
> existiert [mm]A^{-1}[/mm]
>
> und es ist [mm]D_2(AA^{-1})=D_2(E)=1=D_2(A)\cdot{}D_2(A^{-1})[/mm]
> nach Teil 1 von (b)
>
> Daraus folgt, dass [mm]D_2(A)\neq 0[/mm] Warum?
[mm] D_{2}(A^{-1}) [/mm] existiert ja nach Voraussetzung. Dann muss ich die Gleichung [mm] 1=D_{2}(A)*D_{2}(A^{-1}) [/mm] nach [mm] D_{2}(A^{-1}) [/mm] umstellen können. Das geht aber nur, wenn [mm] D_{2}(A)\not=0 [/mm] ist,weil ich sonst nicht dadurch teilen darf. Kann ich das so folgern?
> Die andere Richtung (2) ist etwas vertrackter, nehmen wir [mm]A[/mm]
> mit den Einträgen wie oben, dann ist mit [mm]D_2(A)\neq 0[/mm]
> insbesondere [mm]ad-bc\neq 0[/mm]
>
> Also auch [mm]\frac{1}{ad-bc}\neq 0[/mm]
>
> Versuche mal, ob es die Matrix
> [mm]X:=\frac{1}{ad-bc}\cdot{}\pmat{d&-b\\-c&a}[/mm] als Inverse zu [mm]A[/mm]
> tut, falls ja, so hast du eine, also die Inverse zu [mm]A[/mm]
> gefunden, und es ist [mm]X=A^{-1}[/mm]
>
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> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Di 06.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]D_{2}(A^{-1})[/mm] existiert ja nach Voraussetzung. Dann muss
> ich die Gleichung [mm]1=D_{2}(A)*D_{2}(A^{-1})[/mm] nach
> [mm]D_{2}(A^{-1})[/mm] umstellen können. Das geht aber nur, wenn
> [mm]D_{2}(A)\not=0[/mm] ist,weil ich sonst nicht dadurch teilen
> darf. Kann ich das so folgern?
Öhm, eigentlich folgt aus einer Gleichung [m]ab=1[/m] sofort, dass weder a noch b gleich 0 sind. Also die Behauptung.
SEcki
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Hallo lucy234, ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Wenn A invertierbar ist, dann gilt ja für [mm] A^{-1} [/mm] folgendes:
[mm] A*A^{-1}=E
[/mm]
Nun ist [mm] \det{E}=1=D_2(E)
[/mm]
Mit dem von Dir gezeigten Zusammenhang [mm] D_2(AB)=D_2(A)*D_2(B) [/mm] folgt, wenn man [mm] B=A^{-1} [/mm] einsetzt:
[mm] 1=D_2(E)=D_2(AA^{-1})=D_2(A)*D_2(A^{-1})
[/mm]
unter Auslassung der mittleren beiden Schritte: [mm] 1=D_2(A)*D_2(A^{-1})
[/mm]
> "...folgern Sie damit, dass A genau dann invertierbar
> ist, wenn [mm] D_{2}(A)\not=0."
[/mm]
Grüße,
reverend
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Hallo reverend,
welch bahnbrechende Neuigkeit hat sich in deiner Antwort versteckt?
Steht das nicht fast exakt so oben schon?
Aber doppelt hält bekanntlich besser ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Di 06.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
wie Du siehst und zu Recht anmerkst, ist da keine einzige bahnbrechende Neuigkeit.
Mir schien nur Deine Erläuterung etwas umfänglich, oder soll ich sagen, vollständig? Nimms mir nicht übel, ich wollte Dich keineswegs korrigieren, dazu bestand ja auch kein Anlass. Ich suchte nur, wie die Überschrift ja auch andeutet, eine einfachere Fassung.
Auf gute Zusammenarbeit (und überhaupt ein gutes neues Jahr!),
reverend
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Hallo nochmal,
natürlich nehme ich's dir nicht übel - wieso auch?
Aber es ist doch eine Äquivalenz zu zeigen und du hast exakt das hingeschrieben, was ich zu der einen Richtung (1) auch geschrieben habe ...
Ich sehe da halt keine Vereinfachung oder Verkürzung, es ist bei dir lediglich die Reihenfolge der Faktoren vertauscht
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Di 06.01.2009 | | Autor: | reverend |
Diskutieren wir gerade über Didaktik oder Wahrheit?
Im letzteren Fall hast Du ja ohne Zweifel Recht, und wir sagen das gleiche (bis auf die wirklich unwesentliche Reihenfolge der Faktoren).
Und für die Didaktik, bei aller vermeintlichen Wissenschaftlichkeit, gilt meist noch das de gustibus non est disputandum. Das einzige, was mir da wesentlich ist, ist dass lucy234 Deinen oder meinen Tipp versteht. Dabei geht es nur um die Darbietungsform, inhaltlich habe ich mich nur beschränkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Jetzt hab ich es glaub ich. Vielen Dank euch allen :)
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