Det=+/- 1 => Lösung ganzzahlig < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Di 06.07.2010 | | Autor: | stk66 |
| Aufgabe | Sei [mm] A=(a_{ij})\in M_{n}(\IQ) [/mm] eine Matrix mit [mm] a_{ij}\in\IZ \forall [/mm] i,j und [mm] det(A)\in [/mm] { [mm] \pm [/mm] 1}, und sei [mm] \IQ^{n} [/mm] ein Vektor mit ganzzahligen Einträgen.
Zeige, dass genau ein [mm] x\in\IQ^{n} [/mm] existiert mit [mm] A\cdot [/mm] x=b, und dass alle Einträge von x in [mm] \IZ [/mm] liegen. |
Es soll gezeigt werden, dass für den obigen Fall [mm] A\cdot x=\vektor {b_1 \\ \vdots \\ b_n} [/mm] genau eine Lösung x existiert bei der alle Einträge ganzzahlig sind.
Hierzu habe ich die Cramer'sche Regel angewendet um x zu bestimmen. Sei hierzu [mm] \alpha_i [/mm] die i-te Spalte von A und [mm] A_{ij} [/mm] die Matrix, bei der von A die i-te Zeile und j-te Spalte entfernt wurde.
Dann ergibt sich:
[mm] x_i=\bruch{|\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{i-1} b \alpha_{i+1} \cdots \alpha_n |}{|A|}
[/mm]
Entwicklung der Determinante des Zählers nach der i-ten Spalte:
[mm] x_i=\bruch{(-1)^{1+i}\cdot b_1\cdot |A_{1i}|+\cdots+(-1)^{n+i}\cdot b_n\cdot |A_{ni}|}{|A|}
[/mm]
Da ich weiss, dass [mm] |A|\in [/mm] { [mm] \pm [/mm] 1} muss ich nun zeigen, dass der Zähler auch ganzzahlig ist. [mm] b_i [/mm] ist laut Aufgabenstellung auch ganzzahlig. Genau wie die Einträge der Matrizen [mm] A_{ij} [/mm] auch.
Kann ich daraus folgern, dass [mm] det(A_{ij}) [/mm] auch ganzzahlig ist?
Wie komme ich nun noch zur Eindeutigkeit von i?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A=(a_{ij})\in M_{n}(\IQ)[/mm] eine Matrix mit [mm]a_{ij}\in\IZ \forall[/mm]
> i,j und [mm]det(A)\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}, und sei [mm]\IQ^{n}[/mm] ein Vektor mit
> ganzzahligen Einträgen.
> Zeige, dass genau ein [mm]x\in\IQ^{n}[/mm] existiert mit [mm]A\cdot[/mm]
> x=b, und dass alle Einträge von x in [mm]\IZ[/mm] liegen.
> Es soll gezeigt werden, dass für den obigen Fall [mm]A\cdot x=\vektor {b_1 \\ \vdots \\ b_n}[/mm]
> genau eine Lösung x existiert bei der alle Einträge
> ganzzahlig sind.
> Hierzu habe ich die Cramer'sche Regel angewendet um x zu
> bestimmen. Sei hierzu [mm]\alpha_i[/mm] die i-te Spalte von A und
> [mm]A_{ij}[/mm] die Matrix, bei der von A die i-te Zeile und j-te
> Spalte entfernt wurde.
> Dann ergibt sich:
> [mm]x_i=\bruch{|\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{i-1} b \alpha_{i+1} \cdots \alpha_n |}{|A|}[/mm]
>
> Entwicklung der Determinante des Zählers nach der i-ten
> Spalte:
> [mm]x_i=\bruch{(-1)^{1+i}\cdot b_1\cdot |A_{1i}|+\cdots+(-1)^{n+i}\cdot b_n\cdot |A_{ni}|}{|A|}[/mm]
>
> Da ich weiss, dass [mm]|A|\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\pm[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1} muss ich nun zeigen,
> dass der Zähler auch ganzzahlig ist. [mm]b_i[/mm] ist laut
> Aufgabenstellung auch ganzzahlig. Genau wie die Einträge
> der Matrizen [mm]A_{ij}[/mm] auch.
> Kann ich daraus folgern, dass [mm]det(A_{ij})[/mm] auch ganzzahlig
> ist?
Na klar. Wenn eine quadratische Matrix Einträge aus [mm] \IZ [/mm] hat, so ist ihre Det. ganzzahlig, denn die Det. ist Summe von Produkten ganzer Zahlen.
> Wie komme ich nun noch zur Eindeutigkeit von i?
Du meinst Eindeutigkeit von x ?
A ist doch invertierbar, also ist $x= [mm] A^{-1}b$
[/mm]
FRED
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