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Definitionsbereich: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Do 23.04.2009
Autor: aleskos

Aufgabe
Bestimmen Sie den maximalen Def-bereich.

[mm] f(x)=3\wurzel{1-2cosx} [/mm]

Hallo erstmal,

ich komme bei dieser fkt nicht weiter.
Ich weiß wie sie graphisch aussieht aber wie kommt man auf [mm] D_{max}? [/mm]
Klar ist, dass unter der Wurzel nicht negatives stehen soll, d.h. 2cosx soll auf jeden fall kleiner 1 sein. Sehe ich es richtig?

Bitte um kurzen Ansatz.
Danke schon mal schön im Voraus
aleskos

        
Bezug
Definitionsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Do 23.04.2009
Autor: steppenhahn


> Bestimmen Sie den maximalen Def-bereich.
>  
> [mm]f(x)=3\wurzel{1-2cosx}[/mm]
>  Hallo erstmal,
>  
> ich komme bei dieser fkt nicht weiter.
> Ich weiß wie sie graphisch aussieht aber wie kommt man auf
> [mm]D_{max}?[/mm]
>  Klar ist, dass unter der Wurzel nicht negatives stehen
> soll, d.h. 2cosx soll auf jeden fall kleiner 1 sein. Sehe
> ich es richtig?

Hallo!

Den Ansatz hast du selbst schon geliefert: Unter der Wurzel darf nichts negatives stehen, d.h. der Wurzelinhalt muss [mm] \ge [/mm] 0 sein. Das kannst du als Gleichung formulieren:

[mm] $1-2*\cos(x) \ge [/mm] 0$

Alle x, welche diese Gleichung erfüllen, sind Element des Definitionsbereichs.
Du musst nun nach x umformen:

[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] \ge 2*\cos(x)$ [/mm]

[mm] $\gdw \bruch{1}{2} \ge \cos(x)$ [/mm]

Da der Kosinus periodisch ist, wird der Definitionsbereich in bestimmte Intervalle aufgeteilt werden müssen, die du mit obiger Gleichung nun angeben kannst.

Viele Grüße, Stefan.

Bezug
                
Bezug
Definitionsbereich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 23.04.2009
Autor: aleskos

Danke Stef,

aber wie kommt man auf [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] , [mm] \bruch{5\pi}{3}? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Definitionsbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Do 23.04.2009
Autor: steppenhahn

Hallo!

Nach obiger Gleichung wissen wir doch, dass alle x, für die

[mm] $\bruch{1}{2} \ge \cos(x)$ [/mm]

gilt, im Definitionsbereich der Funktion f sind. Machen wir uns das mal graphisch deutlich:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Der Bereich, in welchem die "erlaubten x" liegen, wird abgegrenzt durch die Schnittpunkte der Funktion [mm] \cos(x) [/mm] mit der Geraden y = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] d.h. praktisch durch die Lösungen der Gleichung

[mm] $\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \cos(x)$ [/mm]

(Das ist die Ungleichung von oben, nur mit =  ).
Wenn du nun auf beiden Seiten der Gleichung [mm] \cos^{-1} [/mm] anwendest, erhältst du

[mm] $\cos^{-1}\left(\bruch{1}{2}\right) [/mm] = x$,

also x = [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] bzw. x = [mm] \bruch{5*\pi}{3} [/mm] als Lösungen. (Siehe Tafelwerk). Das Intervall

[mm] \left[\bruch{\pi}{3},\bruch{5*\pi}{3}\right] [/mm]

ist deswegen Definitionsbereich deiner Funktion. Jetzt müsste man exakterweise aber eigentlich noch die Periodizität des Kosinus betrachten, d.h. der gesamte Definitionsbereich ist eigentlich

[mm] \left[\bruch{\pi}{3} + 2*k*\pi,\bruch{5*\pi}{3} + 2*k*\pi\right] [/mm]

mit [mm] k\in\IZ. [/mm]

Viele Grüße, Stefan.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
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