Definition zur Zv mit unabhäng < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | X,Y seien unabhängige ZV gleichverteilt auf [0,1]
U=min(X,Y) und V=max(X,Y) Bestimme fu(x) und fv(y), E[U],E[V] |
so ich weiß nicht was mit U=min(X,Y) , V=max(X,Y) gemeint ist ..
X ,Y sind unabhängig ZV , aus der gleichverteilung folgt für die Dichte f(x)=1 und f(y)=1 ,
Soll ich nun die Dichte f(x,y) betrachten ..?
ich hoffe ihr könnt mir helfen
|
|
| |
|
> X,Y seien unabhängige ZV gleichverteilt auf [0,1]
> U=min(X,Y) und V=max(X,Y) Bestimme fu(x) und fv(y),
> E[U],E[V]
> so ich weiß nicht was mit U=min(X,Y) , V=max(X,Y) gemeint
> ist ..
min(X,Y) ist die kleinere der beiden Zahlen X und Y,
max(X,Y) die grössere von beiden
wenn X=Y, ist natürlich min(X,Y)=max(X,Y)=X=Y
> X ,Y sind unabhängig ZV , aus der gleichverteilung folgt
> für die Dichte f(x)=1 und f(y)=1
(für [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 und [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 gilt dies;
sonst überall ist f(x)=0 und f(y)=0 !)
> Soll ich nun die Dichte f(x,y) betrachten ..?
Hallo Decehakan,
da hilft vielleicht eine geometrische Betrachtung.
Weil X und Y auf [0;1] gleichverteilt und vonein-
ander unabhängig sind, sind die Datenpunkte (x/y)
im Einheitsquadrat in der x-y-Ebene gleichverteilt.
Dann kann man sich überlegen, welchen Zahlenwert
u=min(x,y) für jeden Punkt in diesem Quadrat
annimmt. Dann hat man die gesuchte Verteilung
praktisch schon vor Augen und muss sie nur noch
in eine Formel fassen !
LG al-Chw.
|
|
|
| |
|
ok gut ,jetzt kann ich mir unter der Aufgabe mehr vorstellen,es ist mir klarer geworden ,
u=min(x,y) nimmt alle werte von (x,y) welche von beiden der kleinere ist auf...
so ,das heißt aber dass u [mm] \in [/mm] [0,1] ,u nimmt alle beliebe werte auf ,aber wie willst du eine Verteilung dazu machen..?
wie sollte man die min(x,y) bei der verteilung umgehen ?
|
|
|
| |
|
> ok gut, jetzt kann ich mir unter der Aufgabe mehr
> vorstellen, es ist mir klarer geworden
>
> u=min(x,y) nimmt alle werte von (x,y) welche von beiden der
> kleinere ist auf...
> wie sollte man die min(x,y) bei der verteilung umgehen ?
Man muss da gar nichts umgehen, man kann einfach
schauen, was man hat.
$\ [mm] u:\quad[0;1]^2\ \to\ \IR$
[/mm]
$\ (x,y)\ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] u(x,y)=min(x,y)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\le y \\ y, & \mbox{falls } x>y \end{cases}$
[/mm]
ist eine recht einfache Funktion. Um den Erwartungs-
wert von u(x,y) zu erhalten, berechnet man:
$\ [mm] E_u=\bruch{\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}u(x,y)\ dy\ dx}{\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}1\ dy\ dx}$
[/mm]
Das Nennerintegral ergibt einfach den Flächen-
inhalt des Einheitsquadrats, also 1. Um das
Integral im Zähler zu berechnen, teilt man
das Integrationsgebiet diagonal in zwei Hälften
auf.
Nebenbei:
Für eine Zahl k zwischen 0 und 1 gilt u(x,y)=k
für die Punkte P(x/y) auf den Strecken [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC}, [/mm]
wobei A=(k/k), B=(1/k), C=(k/1). Die Dichtefunktion
der Funktion u entspricht übrigens gerade der
Länge dieser beiden Strecken zusammen, nämlich:
$\ [mm] f_u(k)=2*(1-k)=2-2k$
[/mm]
al-Chw.
|
|
|
| |
|
Zitat:Al-Chw.
>Nebenbei:
>Für eine Zahl k zwischen 0 und 1 gilt u(x,y)=k
>für die Punkte P(x/y) auf den Strecken und
>wobei A=(k/k), B=(1/k), C=(k/1). Die Dichtefunktion
>der Funktion u entspricht übrigens gerade der
>Länge dieser beiden Strecken zusammen, nämlich:
>$ \ [mm] f_u(k)=2\cdot{}(1-k)=2-2k [/mm] $
Wie kommt du darauf zusagen dass jetzt die Dichte fu(k)=2*(1-k)
was hat das mit der der Strecke AB und AC auf sich,ich sehe überhaupt keine Beziehung...
du hast von einem Punkt (x,y) geredet und dann nimmst du ein Punkt A=(k,k) B=(1,k),C=(k,1) ,und meinst es gibt da eine beziehung..?
heeeee?
Und ja der Punkt (x,y) ist von 2 Parametern abhängig ,wobei deine Strecke AB und Ac nur von einen k ist :) ,wieviele Punkte wirst du mit nur einen Parameter hinkriegen..?
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x)=2-2k dx}= [/mm] 1 ,erstes Vorausetzungskriterium :)
aber vielleicht stimmt die Formel ,aber deine Erklärung vielleicht ein bisschen falsch :(
naja es ist logisch wenn Punkte A,B ,C definiert und sagt f(x)=2-2k...
und ja
wie rechnen man den Zähler einen solchen Bruches
$ \ [mm] E_u=\bruch{\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}u(x,y)\ dy\ dx}{\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}1\ dy\ dx} [/mm] $ ???
mit dieser Funktion kommt man schon auf einige Schwierigkeiten
$ \ (x,y)\ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] u(x,y)=min(x,y)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\le y \\ y, & \mbox{falls } x>y \end{cases} [/mm] $
Du hast bei dir Integrationgebiet teilen diagonal..?
|
|
|
| |
|
Hallo Decehakan,
> Zitat:Al-Chw.:
>
> >Nebenbei:
> >Für eine Zahl k zwischen 0 und 1 gilt u(x,y)=k
> >für die Punkte P(x/y) auf den Strecken [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC},
[/mm]
> >wobei A=(k/k), B=(1/k), C=(k/1). Die Dichtefunktion
> >der Funktion u entspricht übrigens gerade der
> >Länge dieser beiden Strecken zusammen, nämlich:
> >[mm] \ f_u(k)=2\cdot{}(1-k)=2-2k[/mm]
>
> Wie kommt du darauf zusagen dass jetzt die Dichte
> fu(k)=2*(1-k)
>
> was hat das mit der der Strecke AB und AC auf sich,ich
> sehe überhaupt keine Beziehung...
Diese "Nebenbei- Bemerkung" ist schon richtig, ich hätte
sie aber vielleicht besser erst später gebracht. Man kann
sie wohl besser verstehen, nachdem man die Verteilungs-
funktion [mm] F_u [/mm] berechnet hat. Siehe unten !
> du hast von einem Punkt (x,y) geredet und dann nimmst du
> ein Punkt A=(k,k) B=(1,k),C=(k,1) ,und meinst es gibt da
> eine beziehung..?
> heeeee?
> Und ja der Punkt (x,y) ist von 2 Parametern abhängig ,wobei
> deine Strecke AB und AC nur von einem k ist :) ,wieviele
> Punkte wirst du mit nur einen Parameter hinkriegen..?
Die Anzahl der Punkte P(x,y) im Einheitsquadrat, für welche
z.B. min(x,y)=k=0.3 ist , ist natürlich unendlich. Alle diese
Punkte liegen auf einem "$\ [mm] \mbox{L}$"-förmigen [/mm] Strich, den ich mittels
der Punkte A,B,C beschrieben habe. Das muss man sich auf-
zeichnen !
Im Fall k=0.3 ist die Gesamtlänge des Strichs gleich 1.4,
im Fall k=0.99 wäre sie nur noch 0.02, also siebzig mal
kleiner als bei k=0.3. Dies kann man sich sehr gut
vorstellen, wenn man sich klar macht: Es ist doch recht
unwahrscheinlich, dass von zwei beliebig in [0;1]
gewählten Zahlen die kleinere [mm] 0.99\pm{0.001} [/mm] ist.
Eine Zahl im Bereich $\ [mm] 0.3\pm{0.001}$ [/mm] hat eine 70 mal grössere
Chance, als Minimum aufzutreten als eine im Bereich
$\ [mm] 0.99\pm{0.001}$. [/mm] Mit dieser Betrachtung hat man so
betrachtet wirklich ein anschauliches Bild für den
Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte.
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x)=2-2k dx}=[/mm] 1 , erstes Voraussetzungskriterium :)
wenn du richtigerweise schreiben würdest [mm] $\integral_{0}^{1}{f(k)\ dk}=\integral_{0}^{1}(2-2k)\ [/mm] dk$
(oder alles mit x geschrieben), dann passt's
>
> aber vielleicht stimmt die Formel ,aber deine Erklärung
> vielleicht ein bisschen falsch :(
(maximal [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Bisschen) 
> wie rechnet man den Zähler einen solchen Bruches
>
> [mm]\ E_u=\bruch{\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}u(x,y)\ dy\ dx}{\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{1}1\ dy\ dx}[/mm] ???
>
> [mm]\ (x,y)\ \mapsto \ u(x,y)=min(x,y)=\begin{cases} x, & \mbox{falls } x\le y \\ y, & \mbox{falls } x>y \end{cases}[/mm]
Es ist also u(x,y)=x oder u(x,y)=y , je nachdem
ob der Punkt P(x/y) oberhalb oder unterhalb der
Geraden y=x (Diagonale im Quadrat) liegt. Deshalb
teilt man das Doppelintegral entsprechend auf.
Das heisst dann:
[mm] $\integral_{x=0}^{1}\integral_{y=0}^{1}u(x,y)\ [/mm] dy\ [mm] dx=\integral_{x=0}^{1}\left(\ \integral_{y=0}^{x}y\ dy\right)\ dx+\integral_{x=0}^{1}\left(\ \integral_{y=x}^{1}x\ dy\right)\ [/mm] dx$
Die Integration ist einfach.
Die Berechnung der Verteilungsfunktion [mm] F_u [/mm] geht
dann so:
Da das Einheitsquadrat gerade den Flächeninhalt 1
hat, entspricht dies dem gesamten "Wahrscheinlich-
keits-Kuchen", der zu verteilen ist: [mm] P(\Omega)=1 [/mm] .
[mm] F_u(k) [/mm] entspricht (für $\ [mm] 0\le [/mm] k [mm] \le [/mm] 1$) dem Flächeninhalt (!)
des Teilgebietes des Einheitsquadrats, in welchem
$\ [mm] u(x,y)\le [/mm] k$ ist. Das kann man sogar elementargeomet-
risch ohne Integral berechnen.
Aus [mm] F_u(k) [/mm] ergibt sich dann [mm] f_u(k)=\bruch{d}{dk}(F_u(k)) [/mm] durch Ableiten.
Gruß al-Chw.
|
|
|
| |
|
Als aller erstes :) ,ich muss dich loben danke für alles  bruder ;)
ich hatte aber eine kleine kritik an dich :
zu deinen Erwartungwert stimmt die formel überhaupt für die Zufallsvariablen ...?
ich kenne die formel nur : E (X) [mm] =\integral_{0}^{1}{x f(x) dx}
[/mm]
aus der VL:
so wie ich dich verstanden habe : [mm] E(U)=\integral_{0}^{1}{ f(x) dx}/Omega [/mm] betrag
wie bist du auf diese Geniale Idee gekommen :) einfach zu sagen ich betrachte X ,Y auf eine Einheitsquadrat ..?einfach genial von dir
lg hakan
|
|
|
| |
|
Guten Abend Hakan,
> zu deinem Erwartungwert: stimmt die Formel überhaupt für
> die Zufallsvariablen ...?
Rechne alles nach und vergleiche mit dem
Resultat nach dem Link, den Luis angegeben hat !
> ich kenne nur die Formel :
> E (X) [mm]=\integral_{0}^{1}{x f(x) dx}[/mm]
Diese Formel gilt für eine eindimensionale
Zufallsvariable X mit zugehöriger Dichte-
funktion f(x). Das Integral könnte im Prinzip
auch von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] gehen.
Hier haben wir nun eine zweikomponentige
Zufallsvariable (X,Y) von Zahlenpaaren, welche
als Punkte in der Ebene dargestellt werden.
Die zugehörige Dichtefunktion (X,Y unabhängig,
gleichverteilt in [0...1] !) ist
$\ f(x,y)=$ [mm] [b]1[/b]$_{[0...1]^2}$= [/mm] 1$_Q$
welche auf dem ganzen Einheitsquadrat Q [mm] =[0...1]^2 [/mm]
den Wert 1 und überall sonst den Wert 0 hat.
So ist gewährleistet, dass
$\ [mm] P(\Omega)\ [/mm] =\ [mm] \integral_{\IR^2}f(x,y)\ [/mm] dS\ =\ [mm] \integral_{Q}$[b]1 [/mm] [/b]$\ dS\ =\ \ $ 1 $\ *1*1=1$
$\ (dS=Flaechenelement=dx*dy)$
> aus der VL: so wie ich dich
> verstanden habe : [mm]E(U)=\integral_{0}^{1}{ f(x) dx}/Omega[/mm]
Für eindim. Zufallsvariable u(x) und Dichte-
funktion f(x) :
$\ [mm] E_u=\integral_{-\infty}^{\infty}{u(x)* f(x)\ dx}$
[/mm]
In unserer Situaton im [mm] \IR^2 [/mm] mit Funktion u(x,y)
und Dichtefunktion f(x,y), Integration nur über Q ,
weil ausserhalb davon f(x,y)=0 ist:
$\ [mm] E_u=\integral_{\IR^2}{u(x,y)* f(x,y)\ dS}=\integral_{Q}{u(x,y)* 1\ dS}$
[/mm]
> wie bist du auf diese Geniale Idee gekommen :)
> einfach zu sagen ich betrachte X ,Y auf einem
> Einheitsquadrat ..? einfach genial von dir
na, besten Dank für die Blumen - bei zwei Variablen
liegt es eigentlich nicht so fern, an eine Darstellung
in der Ebene zu denken, und ich bin halt schon ein
ausgesprochener Fan von geometrischen Überlegungen !
Schönen Gruß ! al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Di 02.12.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
Da schau her.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Luis du hast die Aufgabe für denn Fall [mm] max(X_{1},..X_{n}) [/mm] ausgerechnet , dass ist aber auch einfach...
bei minum muss das ganze doch anders ausehen
nach Al-Chwarizmi krieg ich für U=min(X,Y)
[mm] F_{u}(x)=2-(1-x)² [/mm] ,was ich sehr nachvollziehbar finde und logisch ist
nach deiner Variante Beweis :
[mm] P(U<=z)=P(min(X,Y)<=z)=(P(X\vee [/mm] Y)<=z)=P(X<=z )*P( Y<=z)=z² für z aus [0;1] wenn ich die Verteilungfunktion betrachte stimmen die gar nicht über ein...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Di 02.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> Luis du hast die Aufgabe für denn Fall [mm]max(X_{1},..X_{n})[/mm]
> ausgerechnet , dass ist aber auch einfach...
>
> bei minum muss das ganze doch anders ausehen
>
Ja? [mm] \min\{X,Y\}=-\max\{-X,-Y\} [/mm] ! Und jetzt noch ein paar
kleinere geistige Klimmzuege ...
vg
|
|
|
| |
|
dass mach doch aber kein SInn luis,
P(U<=z)=P(-max(-X,-Y)<=z)=P(X<=z v Y<=z)
=P(X<=z v Y<=z [mm] )=z²=F_{U}(z) [/mm] das ist aber falsch nach Chwarizmi
ich muss doch P(U<=z)=2z-z² damit ich auf [mm] f_{u}(z)=2-2z [/mm] komme
von welchen gedanken züge meinst du ,ich weiß nicht wo den fehler gemacht habe ,kannst du mir 2 schritte zeigen damit es mir klarer wird
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Mi 03.12.2008 | | Autor: | luis52 |
> dass mach doch aber kein SInn luis,
Doch.
>
> P(U<=z)=P(-max(-X,-Y)<=z)=P(X<=z v Y<=z)
> =P(X<=z v Y<=z [mm])=z²=F_{U}(z)[/mm] das ist aber falsch nach
> Chwarizmi
>
> ich muss doch P(U<=z)=2z-z² damit ich auf [mm]f_{u}(z)=2-2z[/mm]
> komme
Schaun mer mal.
>
> von welchen gedanken züge meinst du ,ich weiß nicht wo den
> fehler gemacht habe ,kannst du mir 2 schritte zeigen damit
> es mir klarer wird
Moin Decehakan,
1) Bestimme die Verteilungsfunktion G von -X und -Y:
Sei [mm] r\in(-1,0). [/mm] Dann ist
[mm] $G(r)=P(-X\le r)=P(X\ge [/mm] -r)=P(X<-r)=1+r$.
2) Bestimme [mm] F_u(z). [/mm] Sei [mm] z\in(0,1):
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
F_u(z)&=&P(-\max\{-X,-Y\}\le z)\\
&=&P(\max\{-X,-Y\}\ge -z) \\
&=&1-P(\max\{-X,-Y\}< -z) \\
&=&1-G^2(-z) \\
&=&1-(1-z)^2 \\
\end{matrix}
[/mm]
3) [mm] f_u(z)=F_u'(z)=2(1-z)
[/mm]
vg Luis
|
|
|
|
