Definition negieren < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Definition:
Eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt kausal, wenn für alle x<0 gilt f(x)=0.
a) Geben Sie durch Negation dieser Definition an, wann eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] nicht kausal ist.
b) Weisen Sie mit ihrem Ergebnis aus a) nach, dass f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x):=x^2 [/mm] nicht kausal ist. |
Hallo,
Ich bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher, ob diese Richtig ist.
a)
Erstmal würde ich das ganze formal in Teilaussagen aufteilen, dann negieren und dann wieder in eine einzige Aussagen zusammenführen.
A:= Eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt kausal, wenn für alle x<0 gilt f(x)=0
B:= Für alle x<0 gilt: f(x)=0.
C:= Eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt kausal.
A [mm] \gdw [/mm] (B [mm] \Rightarrow [/mm] C)
A [mm] \gdw (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C)
[mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw \neg (\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C)
[mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw [/mm] (B [mm] \wedge \neg [/mm] C)
[mm] \neg [/mm] A [mm] \gdw [/mm] Für (mind.) ein x>0 gilt: [mm] f(x)\not=0 [/mm] und eine Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt nicht kausal.
Formal scheint das meiner Meinung nach zwar richtig zu sein, aber mein Ergebnis hört sich irgendwie falsch bzw. komisch an... Was meint ihr? Ist meine Negation richtig?
b)
Sei x=2
mit [mm] f(x):=x^2 [/mm] gilt dann: f(2)=4 und damit ist [mm] f(2)\not=0 [/mm] gezeigt.
Somit ist [mm] f(x):=x^2 [/mm] nicht kausal.
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moin,
Zum Umkehren logischer Aussagen gibt es einige Regeln.
Als erstes solltest du deine Aussage mal sauber in Quantoren notieren:
$f$ kausal [mm] $\gdw \forall [/mm] x<0: f(x)=0$
In der Form lässt sich das ganze ohne große Probleme verneinen und die Verneinung sieht dann auch halbwegs glaubwürdig aus.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Schadowmaster,
> Zum Umkehren logischer Aussagen gibt es einige Regeln.
> Als erstes solltest du deine Aussage mal sauber in
> Quantoren notieren:
> [mm]f[/mm] kausal [mm]\gdw \forall x<0: f(x)=0[/mm]
>
> In der Form lässt sich das ganze ohne große Probleme
> verneinen und die Verneinung sieht dann auch halbwegs
> glaubwürdig aus.
Quantoren haben wir bei uns nicht besprochen. Das einzige was mir gemacht haben sind eben Und, Oder, Implikation, Verneinung und Quantifizierung von Aussagen.
Das alles habe ich jetzt auch bei meiner "Lösung" verwendet. Viel anders haben wir es bei uns in der Vorlesung nicht gemacht.
Ist meine Negation denn (vom Sinn her) falsch?
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> Quantoren haben wir bei uns nicht besprochen. Das einzige
> was mir gemacht haben sind eben Und, Oder, Implikation,
> Verneinung und Quantifizierung von Aussagen.
> Das alles habe ich jetzt auch bei meiner "Lösung"
> verwendet. Viel anders haben wir es bei uns in der
> Vorlesung nicht gemacht.
>
> Ist meine Negation denn (vom Sinn her) falsch?
>
Hallo Jack159,
wenn ihr Aussagen "quantifiziert" habt (mittels der
Ausdrücke "für alle x gilt ..." und "es gibt ein x mit ..."),
dann habt ihr eigentlich implizit schon Quantoren
verwendet, nur sie vielleicht noch nicht durch spezielle
Symbole wie [mm] \forall [/mm] und [mm] \exists [/mm] notiert.
Zu deiner Lösung: ich denke, dass deine Bezeichnungen
A, B, C nicht hilfreich sind.
Vielleicht wäre es besser, die Aufgabe zunächst ganz
schlicht mit sprachlichen Mitteln anzugehen:
Wir haben die Definition:
Eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ heißt kausal, wenn für alle x<0 gilt f(x)=0.
Dann können wir doch gleich festhalten:
Eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ ist nicht kausal, wenn nicht für alle x<0 gilt f(x)=0.
Oder, was gleichwertig ist:
Eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ ist nicht kausal, wenn es ein x mit x<0 und [mm] f(x)\not=0 [/mm] gibt.
Hintergrund: etwas gilt nicht für alle negativen x genau
dann, wenn es (mindestens) eine Ausnahme gibt, also
ein negatives x, für welches die Aussage falsch ist.
Nachdem man sich dies auf der sprachlichen Ebene klar
gemacht hat, kann man nun einen Abstraktionsschritt
machen, indem man Abkürzungen und Symbole einführt.
So wie ich die Aufgabe verstehe, ist aber eine solche
symbolische Darstellung vorerst gar nicht verlangt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
> > Quantoren haben wir bei uns nicht besprochen. Das einzige
> > was mir gemacht haben sind eben Und, Oder, Implikation,
> > Verneinung und Quantifizierung von Aussagen.
> > Das alles habe ich jetzt auch bei meiner "Lösung"
> > verwendet. Viel anders haben wir es bei uns in der
> > Vorlesung nicht gemacht.
> >
> > Ist meine Negation denn (vom Sinn her) falsch?
> >
>
>
> Hallo Jack159,
>
> wenn ihr Aussagen "quantifiziert" habt (mittels der
> Ausdrücke "für alle x gilt ..." und "es gibt ein x mit
> ..."),
> dann habt ihr eigentlich implizit schon Quantoren
> verwendet, nur sie vielleicht noch nicht durch spezielle
> Symbole wie [mm]\forall[/mm] und [mm]\exists[/mm] notiert.
>
> Zu deiner Lösung: ich denke, dass deine Bezeichnungen
> A, B, C nicht hilfreich sind.
> Vielleicht wäre es besser, die Aufgabe zunächst ganz
> schlicht mit sprachlichen Mitteln anzugehen:
>
> Wir haben die Definition:
>
> Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt kausal, wenn für alle
> x<0 gilt f(x)=0.
>
> Dann können wir doch gleich festhalten:
>
> Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nicht kausal, wenn nicht
> für alle x<0 gilt f(x)=0.
>
> Oder, was gleichwertig ist:
>
> Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nicht kausal, wenn es ein
> x mit x<0 und [mm]f(x)\not=0[/mm] gibt.
Die Gefahr das rein sprachlich zu machen ist, dass man sich sehr schnell vertut (zumindest ich). Deswegen zerlege ich die Ursprungsaussage lieber in Teilaussagen und negiere dann Schrit für Schritt, anstatt alles komplett mit 1 Schlag zu negieren.
Wie würde denn die korrekte Lösung lauten, mit meiner Methode?
Ich habe auch erst überlegt es auf deine Art zu machen, aber da hätte ich mich schon direkt vertan (wie erwartet). Ich hätte z.b. auch das x<0 zu x>=0 negiert....
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> Die Gefahr das rein sprachlich zu machen ist, dass man sich
> sehr schnell vertut.
Ich denke aber, dass der Übergang zu einer symbolischen
Notation erst dann wirklich Sinn macht, wenn man wenigstens
an einfachen Beispielen vom ursprünglichen sprachlichen
Gehalt von Aussagen und ihren Negationen etc. ausgeht
und so die Symbolsprache nicht nur als ein abstraktes
Instrument zum formalistischen Hantieren auswendig lernt,
sondern es sich wirklich in dem Sinne zu eigen macht, dass
die Brücke vom unmittelbaren Sinngehalt zur Formel jedenfalls
gebaut wird und in beiden Richtungen begangen werden kann.
> Wie würde denn die korrekte Lösung lauten, mit meiner
> Methode?
Werde mir ev. (falls Zeit und Lust zusammentreffen) noch
überlegen, in welcher Weise man hier sinnvoll formalisieren könnte ...
LG Al-Chw.
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Guten Sonntag Morgen !
Marcel hat schon erläutert, weshalb deine Herangehens-
weise zumindest problematisch ist.
Die Definition selber als Aussage zu deklarieren, bringt
kaum etwas. Die Definition wenden wir an auf Aussagen
über eine Funktion f.
Ich möchte jetzt nur eine Möglichkeit zeigen, wie man
hier Bezeichnungen einführen könnte.
K: die Funktion f ist "kausal"
x Variable für reelle Zahl
M(x): x<0
N(x): x ist Nullstelle von f
Die Definition sagt nun:
$\ [mm] K:\gdw\ \forall [/mm] x\ [mm] (M(x)\Rightarrow [/mm] N(x))$
Die Negation von K ist dann:
$\ [mm] \neg\ K\gdw\ \neg\ \forall [/mm] x\ [mm] (M(x)\Rightarrow [/mm] N(x))$
Und nun kann man auf der rechten Seite so umformen,
dass anstatt des negierten Allquantors ein Existenzquantor
erscheint:
$\ [mm] \neg\ K\gdw\ \exists [/mm] x\ [mm] (M(x)\wedge(\neg\, [/mm] N(x)))$
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 So 09.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Guten Sonntag Morgen !
>
> Marcel hat schon erläutert, weshalb deine Herangehens-
> weise zumindest problematisch ist.
> Die Definition selber als Aussage zu deklarieren, bringt
> kaum etwas. Die Definition wenden wir an auf Aussagen
> über eine Funktion f.
> Ich möchte jetzt nur eine Möglichkeit zeigen, wie man
> hier Bezeichnungen einführen könnte.
>
> K: die Funktion f ist "kausal"
>
> x Variable für reelle Zahl
>
> M(x): x<0
>
> N(x): x ist Nullstelle von f
>
> Die Definition sagt nun:
>
> [mm]\ K:\gdw\ \forall x\ (M(x)\Rightarrow N(x))[/mm]
>
> Die Negation von K ist dann:
>
> [mm]\ \neg\ K\gdw\ \neg\ \forall x\ (M(x)\Rightarrow N(x))[/mm]
recherhand würde ich aber Klammern setzen:
[mm] $$\neg\ \red{\big(}\forall [/mm] x\ [mm] (M(x)\Rightarrow N(x))\red{\big)}$$
[/mm]
Sonst könnte man denken, dass sich die Negation nur auf das [mm] $\forall$
[/mm]
bezieht. Übrigens sieht man hier einen kleinen Vorteil, wenn man [mm] $\overline{A}$
[/mm]
anstatt [mm] $\neg [/mm] A$ schreiben würde - denn der "Balken" zieht sich immer
komplett über die ganze zu verneinende Aussage!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Sa 08.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Danke für deine Antworten.
> Wir haben die Definition:
>
> Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt kausal, wenn für alle
> x<0 gilt f(x)=0.
>
> Dann können wir doch gleich festhalten:
>
> Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nicht kausal, wenn nicht
> für alle x<0 gilt f(x)=0.
>
> Oder, was gleichwertig ist:
>
> Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nicht kausal, wenn es ein
> x mit x<0 und [mm]f(x)\not=0[/mm] gibt.
Ich habe mir deine Lösung nochmal genau angeschaut und mit meiner verglichen und dabei bemerkt, wo mein Fehler liegt.
Hier nochmal meine Version überarbeitet, bei der ich am Ende "Sinngemäß die selbe Negation wie du rausbekomme (wenn auch nicht in einem besonders "schönen" deutschen Satz).
A:= Eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ heißt kausal, wenn für alle x<0 gilt f(x)=0
B:= Für alle x<0 gilt: f(x)=0.
C:= Eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ heißt kausal.
A $ [mm] \gdw [/mm] $ (B $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ C)
A $ [mm] \gdw (\neg [/mm] $ B $ [mm] \vee [/mm] $ C)
$ [mm] \neg [/mm] $ A $ [mm] \gdw \neg (\neg [/mm] $ B $ [mm] \vee [/mm] $ C)
$ [mm] \neg [/mm] $ A $ [mm] \gdw [/mm] $ (B $ [mm] \wedge \neg [/mm] $ C)
$ [mm] \neg [/mm] $ A $ [mm] \gdw [/mm] $ Für (mind.) ein x<0 gilt: $ [mm] f(x)\not=0 [/mm] $ und eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ heißt nicht kausal.
Das kann man jetzt rein sprachlich noch etwas schöner umschreiben, ohne den Sinngehalt darin zu verändern:
$ [mm] \neg [/mm] $ A $ [mm] \gdw [/mm] $ Wenn für (mind.) ein x<0 gilt $ [mm] f(x)\not=0 [/mm] $ , dann heißt eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ nicht kausal.
So müsste es stimmen, oder?
Mein Fehler war, dass ich meine Teilaussage
B:= Für alle x<0 gilt: f(x)=0.
wie folgt (falsch) negiert hatte:
[mm] \neg [/mm] B:= Für (mind.) ein x>0 gilt: f(x)=0.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:52 So 09.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jack,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> Danke für deine Antworten.
>
>
> > Wir haben die Definition:
> >
> > Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt kausal, wenn für alle
> > x<0 gilt f(x)=0.
> >
> > Dann können wir doch gleich festhalten:
> >
> > Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nicht kausal, wenn nicht
> > für alle x<0 gilt f(x)=0.
> >
> > Oder, was gleichwertig ist:
> >
> > Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] ist nicht kausal, wenn es ein
> > x mit x<0 und [mm]f(x)\not=0[/mm] gibt.
>
>
> Ich habe mir deine Lösung nochmal genau angeschaut und mit
> meiner verglichen und dabei bemerkt, wo mein Fehler liegt.
>
> Hier nochmal meine Version überarbeitet, bei der ich am
> Ende "Sinngemäß die selbe Negation wie du rausbekomme
> (wenn auch nicht in einem besonders "schönen" deutschen
> Satz).
>
>
> A:= Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt kausal, wenn für
> alle x<0 gilt f(x)=0
>
> B:= Für alle x<0 gilt: f(x)=0.
> C:= Eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt kausal.
>
> A [mm]\gdw[/mm] (B [mm]\Rightarrow[/mm] C)
was machst Du eigentlich da? Etwa bei [mm] $A\,$?
[/mm]
Also Aussagen sind "Sätze", deren Wahrheitsgehalt man prüfen kann.
(Entweder wahr oder falsch). Was ich irgendwie verstehen würde:
A: Eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ist kausal
B: $x < [mm] 0\,$
[/mm]
C: [mm] $f(x)=0\,.$
[/mm]
Dann könnte man sagen,dass per Definitionem gilt:
[mm] $A$:$\gdw$ [/mm] ($B [mm] \Rightarrow [/mm] C$)
(Denn "eine Funktion heißt mickeymouse" bedeutet, dass man
eine Funktion dann und nur dann mickeymouse nennt, wenn die
entsprechende Eigenschaft erfüllt ist.)
Nun ist's doch logisch, dass man also sagt: Eine Funktion heißt (genau
dann) nicht kausal, wenn $x < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=0$ nicht gilt.
Und wenn man das richtig übersetzt, sollte man dann halt eigentlich
[mm] $\forall$ [/mm] (für alle) und [mm] $\exists$ [/mm] (es existiert (mind.) ein) mitnehmen.
Aber Deine obige Aufsplittung finde ich jedenfalls komisch... Zumal bei
Dir [mm] $A\,$ [/mm] ja eine Definition ist.
Und das ist auch das Problem in manchen Aufgabenformulierungen:
Da steht dann sowas wie:
Zeigen Sie, dass
1. Genau dann, wenn die symmetrische Matrix [mm] $A\,$ [/mm] strikt positiv definit
ist, sind alle Eigenwerte (der symmetrischen Matrix [mm] $A\,$) [/mm] auch strikt
positiv.
2. Im Falle von [mm] $1.\,$ [/mm] gilt auch für [mm] $A\,$ [/mm] folgendes:...
Naja, in erstens steht eine Behauptung, dass zwei Aussagen zueinander
äquvalent sind. Wenn ich das bewiesen habe, habe ich gezeigt, dass
die behaupteten beiden Folgerungen aus 1. beide gelten. Bei der 2.
Aufgabe steht "Im Falle von 1.". Heißt das nun, dass ich bei 2. nichts mehr
zu tun habe, wenn ich beweisen kann, dass die Äquivalenz aus 1. falsch
ist?
Nein! Gemeint ist viel mehr bei 2.: Vorausgesetzt wird, dass eine der
beiden äquivalenten Aussagen aus 1. wahr ist (und damit sind auch beide
wahr). Unter dieser Voraussetzung/Annahme soll man was tun.
Eigentlich sollten derartige Formulierungen an Hochschulen in
Aufgabenstellungen so nicht gemacht werden - aber anscheinend ist
sogar vielen (diplomierten und teilweise promovierten)
Aufgabensteller-innen und -stellern gar nicht bewußt, dass die
Aufgabe 2. in dieser Formulierung streng genommen keinen Sinn macht -
jedenfalls nicht den, den sie machen sollte!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 09.09.2012 | | Autor: | Jack159 |
> was machst Du eigentlich da? Etwa bei [mm]A\,[/mm]?
>
> Also Aussagen sind "Sätze", deren Wahrheitsgehalt man
> prüfen kann.
> (Entweder wahr oder falsch). Was ich irgendwie verstehen
> würde:
>
> A: Eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] ist kausal
>
> B: [mm]x < 0\,[/mm]
>
> C: [mm]f(x)=0\,.[/mm]
>
> Dann könnte man sagen,dass per Definitionem gilt:
> [mm]A[/mm]:[mm]\gdw[/mm] ([mm]B \Rightarrow C[/mm])
So in etwa meinte ich das auch (Also besser ohne Gleichheitszeichen dann).
> Nun ist's doch logisch, dass man also sagt: Eine Funktion
> heißt (genau
> dann) nicht kausal, wenn [mm]x < 0 \Rightarrow f(x)=0[/mm] nicht
> gilt.
Das stimmt. Aber das wird unser Prof nicht als fertige Negation betrachten, da wir Aussagen nach dem obigen Muster (Was du jetzt nochmal richtig vorgeführt hast mit A: ...., B:....., C: .....) in Teilaussagen zerlegen sollen, dann praktisch formal nur unsere abkürzenden Buchstaben A, B und C negieren sollen auf Formelbasis und dann am Ende wieder entsprechend die Sätze aufschreiben.
Mal eben so direkt per Augenmaß zu negieren finde ich zu ungenau bzw. für zu fehleranfällig (zumindest gilt das für mich). Ich fühle mich beim obigen Verfahren sicherer.
Meine verbesserte Negation aus dem letzten Post von mir müsste aber nun stimmen oder?
$ [mm] \neg [/mm] $ A $ [mm] \gdw [/mm] $ Wenn für (mind.) ein x<0 gilt $ [mm] f(x)\not=0 [/mm] $ , dann heißt eine Funktion f: $ [mm] \IR \to \IR [/mm] $ nicht kausal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 So 09.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > was machst Du eigentlich da? Etwa bei [mm]A\,[/mm]?
> >
> > Also Aussagen sind "Sätze", deren Wahrheitsgehalt man
> > prüfen kann.
> > (Entweder wahr oder falsch). Was ich irgendwie verstehen
> > würde:
> >
> > A: Eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] ist kausal
> >
> > B: [mm]x < 0\,[/mm]
> >
> > C: [mm]f(x)=0\,.[/mm]
> >
> > Dann könnte man sagen,dass per Definitionem gilt:
> > [mm]A[/mm]:[mm]\gdw[/mm] ([mm]B \Rightarrow C[/mm])
>
>
> So in etwa meinte ich das auch (Also besser ohne
> Gleichheitszeichen dann).
>
>
>
> > Nun ist's doch logisch, dass man also sagt: Eine Funktion
> > heißt (genau
> > dann) nicht kausal, wenn [mm]x < 0 \Rightarrow f(x)=0[/mm] nicht
> > gilt.
>
> Das stimmt. Aber das wird unser Prof nicht als fertige
> Negation betrachten, da wir Aussagen nach dem obigen Muster
> (Was du jetzt nochmal richtig vorgeführt hast mit A: ....,
> B:....., C: .....) in Teilaussagen zerlegen sollen, dann
> praktisch formal nur unsere abkürzenden Buchstaben A, B
> und C negieren sollen auf Formelbasis und dann am Ende
> wieder entsprechend die Sätze aufschreiben.
> Mal eben so direkt per Augenmaß zu negieren finde ich zu
> ungenau bzw. für zu fehleranfällig (zumindest gilt das
> für mich).
na, hier hat niemand "per Augenmaß" negiert. Alle benutzen
entsprechende Regeln der Aussagenlogik. Was Du vielleicht meinst,
ist, dass einige ein paar Zwischenschritte übersprungen haben. Das
ist Übungssache und wirst Du später auch so machen - aber natürlich
soll man das "Zeugs" ja erstmal detailliert lernen und verstehen, eben,
damit man bei einem "Schnellschuß" später halt auch mal exakt
nachrechnen kann, ob man sich da nicht vertan hat. Manche Leute machen
das auch immer "detailliert", finde ich okay, kann aber manchmal
entsprechend zeitraubend sein ("unnötiger Weise").
> Ich fühle mich beim obigen Verfahren
> sicherer.
Dagegen ist auch nichts einzuwenden, aber pass' halt dann auch genau
auf, was Du machst. Wie gesagt: Eine Definition alleine als Aussage
zu deklarieren...
> Meine verbesserte Negation aus dem letzten Post von mir
> müsste aber nun stimmen oder?
>
> [mm]\neg[/mm] A [mm]\gdw[/mm] Wenn für (mind.) ein x<0 gilt [mm]f(x)\not=0[/mm] ,
> dann heißt eine Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] nicht kausal.
Na, da hast Du doch sicher wieder [mm] $A\,$ [/mm] als "Definitionsaussage" benutzt,
oder? Denn warum steht sonst am Ende "dann heißt eine Funktion nicht
kausal."
Lasse [mm] $A\,$ [/mm] wie bei mir stehen (vielleicht sogar besser so, wie bei Al):
A: Die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] (als Abbildung [mm] $\IR \to \IR$) [/mm] ist kausal.
Dann gilt [mm] $\neg [/mm] A$ genau dann, wenn für (mind.) ein $x < [mm] 0\,$ [/mm] gilt $f(x) [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Ich denke, logisch ist Dir das alles klar. Den Formalismus siehst Du noch
nicht so ganz ein ^^
Gruß,
Marcel
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