Definition kompakter Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 Do 25.08.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Definition eines kompakten Operators. Wir haben folgende Definition eingeführt:
[mm] T \in L(X) [/mm] heisst kompakt, wenn [mm] \overline{T(B_1(0)} [/mm] kompakt ist. Daraus lässt sich schnell folgern, dass jede beschränkte Menge auf eine relativ kompakte Teilmenge abgebildet wird. Nun zu meiner Frage: Ich kenne folgende äquivalente Eigenschaften von Kompaktheit in metrischen Räumen:
1. K ist kompakt
2. K ist folgenkompakt
3. K ist vollständig und total beschränkt
Ich hätte nun daraus geschlossen, dass ein Operator $\ T $ kompakt ist, falls für eine Folge $\ [mm] (x_n) \subset [/mm] P [mm] \subset [/mm] X $, wobei $\ P $ beschränkt ist, also auch die Folge $\ [mm] (x_n)$, [/mm] $\ [mm] (Tx_n) [/mm] $ eine konvergente Teilfolge in $\ [mm] \overline{P} [/mm] $ besitzt. Wieso reicht es eine konvergente Teilfolge in $\ P $ zu haben? Diese Menge ist ja "nichts", ich weiss nur, dass $\ [mm] \overline{P} [/mm] $ kompakt ist!
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Do 25.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich habe eine Frage zur Definition eines kompakten
> Operators. Wir haben folgende Definition eingeführt:
>
> [mm]T \in L(X)[/mm] heisst kompakt, wenn [mm]\overline{T(B_1(0)}[/mm] kompakt
> ist. Daraus lässt sich schnell folgern, dass jede
> beschränkte Menge auf eine relativ kompakte Teilmenge
> abgebildet wird.
Richtig.
> Nun zu meiner Frage: Ich kenne folgende
> äquivalente Eigenschaften von Kompaktheit in metrischen
> Räumen:
>
> 1. K ist kompakt
> 2. K ist folgenkompakt
> 3. K ist vollständig und total beschränkt
>
> Ich hätte nun daraus geschlossen, dass ein Operator [mm]\ T[/mm]
> kompakt ist, falls für eine Folge [mm]\ (x_n) \subset P \subset X [/mm],
> wobei [mm]\ P[/mm] beschränkt ist, also auch die Folge [mm]\ (x_n)[/mm], [mm]\ (Tx_n)[/mm]
> eine konvergente Teilfolge in [mm]\ \overline{P}[/mm] besitzt.
Wieso in [mm]\ \overline{P}[/mm] ?
> Wieso
> reicht es eine konvergente Teilfolge in [mm]\ P[/mm] zu haben? Diese
> Menge ist ja "nichts", ich weiss nur, dass [mm]\ \overline{P}[/mm]
> kompakt ist!
T ist kompakt [mm] \gdw [/mm] für jede beschränkte Folge [mm] (x_n) [/mm] in X enthält [mm] (Tx_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge.
Fertig.
FRED
>
> mfg
>
> KaloR
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Do 25.08.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo fred
Ich befürchtete, dass meine Frage etwas ungenau gestellt ist. Wenn ich aus meiner ursprünglichen Definition versuche die mittels Folgenkriterium herzuleiten, ist dies ja eigentlich nur eine topologische Aussage. Wie ich bereits erwähnte, kenne ich folgende Aussage:
1. $\ [mm] \overline{P} [/mm] $ ist kompakt
2. $\ [mm] \overline{P} [/mm] $ ist folgenkompakt
3. $\ [mm] \overline{P} [/mm] $ ist vollständig und beschränkt.
ich weiss, dass 1. gilt nach Definition des kompakten Operators. Also folgt gleich 2. aber eben nur mit dem Abschluss und nicht $\ P $!
Ich hoffe ich konnte meine Frage präziser formulieren.
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Do 25.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
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> Ich befürchtete, dass meine Frage etwas ungenau gestellt
> ist. Wenn ich aus meiner ursprünglichen Definition
> versuche die mittels Folgenkriterium herzuleiten, ist dies
> ja eigentlich nur eine topologische Aussage. Wie ich
> bereits erwähnte, kenne ich folgende Aussage:
>
> 1. [mm]\ \overline{P}[/mm] ist kompakt
> 2. [mm]\ \overline{P}[/mm] ist folgenkompakt
> 3. [mm]\ \overline{P}[/mm] ist vollständig und beschränkt.
>
> ich weiss, dass 1. gilt nach Definition des kompakten
> Operators. Also folgt gleich 2. aber eben nur mit dem
> Abschluss und nicht [mm]\ P [/mm]!
>
> Ich hoffe ich konnte meine Frage präziser formulieren.
Ich fürchte, nein.
Du hattest eine beschränkte Menge P. Wenn T kompakt ist, so ist [mm] \overline{T(P)} [/mm] kompakt.
FRED
>
> mfg
>
> KaloR
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:22 Do 25.08.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo fred!
Ich bin zutiefst beschämt! Das war totaler Blödsinn was ich angeschrieben habe: Ich versuche einen letzten Anlauf:
Ich suche ja eine konvergente Teilfolge von $\ [mm] (Tx_n) [/mm] $. Die soll aber konvergent in $\ [mm] \overline{T(P)} [/mm] $ sein, sonst könnte ich ja gar nichts über die Konvergenz sagen, richtig? Und dies gilt nur, wenn die üblichen Äquivalenzen der Kompaktheitsbegriffe gleich sind.
Warum lang und kompliziert, wenn es auch einfach geht.......
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 02.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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