Definitheit der Hesse Matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 Fr 07.07.2006 | | Autor: | AriR |
(Frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, wenn ich die Hesse Matrix auf definitheit überprüfen möchte,
also
1) pos. def.
2) neg. def.
3) positiv semi def.
4) negativ semi def.
5) indefinit
welche verfahren stehen da einem alles zur Verfügung?
also erstmal kann man das ja über die def machen, das wären
zu 1) [mm] <\pi,A\pi> [/mm] >0 [mm] \forall\pi\in\IR^n\0 [/mm]
zu 2) [mm] <\pi,A\pi> \ge0 \forall\pi\in\IR^n
[/mm]
zu 3) [mm] <\pi,(-A)\pi> [/mm] >0 [mm] \forall\pi\in\IR^n\0
[/mm]
zu 1) [mm] <\pi,(-A)\pi> \ge0 \forall\pi\in\IR^n
[/mm]
zu 1) [mm] \exists\pi,\nu\in\IR^n\0: <\pi,A\pi> [/mm] > 0 und [mm] <\nu,A\nu><0 [/mm]
dann kann man pos.def. und neg. def über die determinanten herausbekommen.
falls det(A)>0 ist sie pos.def und falls det(-A)>0 neg.def.
kann man auch semi def. und indef. über det herausbekommen?
und falls man eine matrix in diagonalform hat, kann man gucken ob die EW also die Werte auf der hauptdiagonalen
1.alle pos sind, dann ist die matrix pos.def.
2.alle neg sind, dann ist die matrix neg. def
3.alle [mm] \ge0 [/mm] sind, dann ist die matrix pos.semi.def
4.alle [mm] \le0 [/mm] sind, dann ist die matrix neg.semi.def
5.indefinit für jeden anderen fall (zB pos und neg. EW)
gibts da noch mehr kriterien? also ich finde am schönsten geht das mit det, weil man meistens sowieso nur höchstens [mm] 3\times3-Matritzen [/mm] betrachten muss nur da weiß ich nur, wie man pos.- und neg.def. berrechnet :(
kann mir vielleihct jemand sagen, wie man über det auch noch die anderen fälle bekommt und ob es viell noch mehr kriterien gibt?
wäre echt nett..
danke und gruß
Ari
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Hallo Ari,
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> Hey leute, wenn ich die Hesse Matrix auf definitheit
> überprüfen möchte,
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> also
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> 1) pos. def.
> 2) neg. def.
> 3) positiv semi def.
> 4) negativ semi def.
> 5) indefinit
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> welche verfahren stehen da einem alles zur Verfügung?
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> also erstmal kann man das ja über die def machen, das
> wären
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> zu 1) [mm]<\pi,A\pi>[/mm] >0 [mm]\forall\pi\in\IR^n\0[/mm]
> zu 2) [mm]<\pi,A\pi> \ge0 \forall\pi\in\IR^n[/mm]
> zu 3)
> [mm]<\pi,(-A)\pi>[/mm] >0 [mm]\forall\pi\in\IR^n\0[/mm]
> zu 1) [mm]<\pi,(-A)\pi> \ge0 \forall\pi\in\IR^n[/mm]
> zu 1)
> [mm]\exists\pi,\nu\in\IR^n\0: <\pi,A\pi>[/mm] > 0 und [mm]<\nu,A\nu><0[/mm]
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![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") [mm] \pi [/mm] ist [mm] \pi [/mm] und kein Vektor! Basta!
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Eigentlich ist's egal aber ein paar Namenskonventionen sind schon recht allgemeingültig. Wieso nimmst Du nicht x läßt sich doch auch schneller schreiben. Ansonsten ist natürlich auch deine Nummernzuordnung etwas durcheinander, aber ich nehme mal an das Du's richtig zuordnen kannst.
> dann kann man pos.def. und neg. def über die determinanten
> herausbekommen.
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> falls det(A)>0 ist sie pos.def und falls det(-A)>0
> neg.def.
> kann man auch semi def. und indef. über det
> herausbekommen?
>
>
> und falls man eine matrix in diagonalform hat, kann man
> gucken ob die EW also die Werte auf der hauptdiagonalen
> 1.alle pos sind, dann ist die matrix pos.def.
> 2.alle neg sind, dann ist die matrix neg. def
> 3.alle [mm]\ge0[/mm] sind, dann ist die matrix pos.semi.def
> 4.alle [mm]\le0[/mm] sind, dann ist die matrix neg.semi.def
> 5.indefinit für jeden anderen fall (zB pos und neg. EW)
Du könntest Die Eigenwerte auch berechnen, dann wäre die Aussage die Gleiche. Das wäre auch die Variante die immer(oder fast immer) geht.
viele Grüße
mathemaduenn
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