Definitheit < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 25.04.2014 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Entscheide mit einer Methode deiner Wahl (z.B. quadratische Ergänzung, Determinanten, Eigenwerte usw.), welche der folgenden Matrizen positiv definit sind und welche nicht.
[mm] A_1=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] A_2=\pmat{ 1 & -3&1 \\ -3 & 5 &-2 \\1&-2&1}
[/mm]
[mm] A_3=\pmat{ 7 & 1 \\ 1 & 7 }
[/mm]
[mm] A_4=\pmat{ 0& A_3 \\ A_3 & 0 }
[/mm]
[mm] A_5=\pmat{ 1 & 4&-5&6 \\ 4 & -2&-6&2 \\-5&-6&1&3\\6&2&3&100} [/mm] |
Hallo,
also ich hab mal ein paar Fragen:
1. Kann man bei [mm] A_1,A_2 [/mm] und [mm] A_3 [/mm] sagen, dass sie positiv definit sind, da die Hauptdiagonalen positiv sind? Wenn nein, gibt es eine schnelle Methode positive Definitheit zu sehen?
2. Wie sieht denn [mm] A_4 [/mm] aufgeschrieben aus?
3. Bei [mm] A_5 [/mm] bleibt mir nicht anderes übrig als die Determinante zu bestimmen oder?
Danke schon mal im Voraus.
Viele Grüße
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Hallo,
> Entscheide mit einer Methode deiner Wahl (z.B. quadratische
> Ergänzung, Determinanten, Eigenwerte usw.), welche der
> folgenden Matrizen positiv definit sind und welche nicht.
> [mm]A_1=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
> [mm]A_2=\pmat{ 1 & -3&1 \\ -3 & 5 &-2 \\1&-2&1}[/mm]
>
> [mm]A_3=\pmat{ 7 & 1 \\ 1 & 7 }[/mm]
> [mm]A_4=\pmat{ 0& A_3 \\ A_3 & 0 }[/mm]
>
> [mm]A_5=\pmat{ 1 & 4&-5&6 \\ 4 & -2&-6&2 \\-5&-6&1&3\\6&2&3&100}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ich hab mal ein paar Fragen:
>
> 1. Kann man bei [mm]A_1,A_2[/mm] und [mm]A_3[/mm] sagen, dass sie positiv
> definit sind, da die Hauptdiagonalen positiv sind?
Nein, das ist kein Argument.
Rechne doch mal bei [mm]A_1[/mm] die Eigenwerte aus, einer ist 0, der andere 2, also nix mit positiv definit
Es gibt für symmetr. Matrizen (was [mm]A_1-A_3[/mm] ja sind) ein sog. Hauptminorenkriterium.
Schaue dich diesbzgl. mal um - wikipedia hat sogar ein vorgerechnetes Bsp. ...
> Wenn
> nein, gibt es eine schnelle Methode positive Definitheit zu
> sehen?
>
> 2. Wie sieht denn [mm]A_4[/mm] aufgeschrieben aus?
Das ist eine [mm]4\times 4[/mm]-Matrix, die in der linken oberen und unteren rechten Ecke einen Block hat, der aus der [mm]2\times 2[/mm]-Nullmatrix besteht und entsprechend [mm]A_3[/mm] in den anderen beiden "Ecken" als Blöcke, also
[mm]A_4=\pmat{0&0&7&1\\0&0&1&7\\7&1&0&0\\1&7&0&0}[/mm]
> 3. Bei [mm]A_5[/mm] bleibt mir nicht anderes übrig als die
> Determinante zu bestimmen oder?
Die Determinanten der Hauptminoren ...
>
> Danke schon mal im Voraus.
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 27.04.2014 | | Autor: | David90 |
Ok danke für die Antwort. Mit dem Hauptminorenkriterium klappt das echt gut. Das Kriterium kann ich doch bei allen Matrizen anwenden, da ja alle symmetrisch sind.
Also für [mm] A_1:
[/mm]
det(1)=1, [mm] det\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=1-1=0
[/mm]
das heißt nicht positiv definit
Für [mm] A_2:
[/mm]
det(1)=1, [mm] det\pmat{ 1 & 3 \\ 3 & 5 }=5-9=-4, det\pmat{ 1 & 3&1 \\ 3 & 5&2 \\1&-2&1 }=5+6-6-5+4-9=-5
[/mm]
das heißt nicht pos. definit
Für [mm] A_3:
[/mm]
det(7)=7, [mm] det\pmat{ 7 & 1 \\ 1 & 7 }=49-1=48
[/mm]
das heißt pos. definit
Für [mm] A_4:
[/mm]
det(0)=0, ...
das heißt nicht pos. definit
Für [mm] A_5:
[/mm]
det(1)=1, [mm] det\pmat{ 1 & 4 \\ 4 & -2 }=-2-8=-10, [/mm] ...
das heißt nicht pos. definit
Fertig:)
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 So 27.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo David,
> Mit dem Hauptminorenkriterium
> klappt das echt gut. Das Kriterium kann ich doch bei allen
> Matrizen anwenden, da ja alle symmetrisch sind.
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also für [mm]A_1:[/mm]
> det(1)=1, [mm]det\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=1-1=0[/mm]
> das heißt
> nicht positiv definit
>
> Für [mm]A_2:[/mm]
> det(1)=1, [mm]det\pmat{ 1 & 3 \\ 3 & 5 }=5-9=-4, det\pmat{ 1 & 3&1 \\ 3 & 5&2 \\1&-2&1 }=5+6-6-5+4-9=-5[/mm]
>
> das heißt nicht pos. definit
Ja, wobei du sogar
[mm] \det\pmat{ 1 & 3&1 \\ 3 & 5&2 \\1&-2&1 }
[/mm]
nicht benötigst.
> Für [mm]A_3:[/mm]
> det(7)=7, [mm]det\pmat{ 7 & 1 \\ 1 & 7 }=49-1=48[/mm]
> das heißt
> pos. definit
Ja.
> Für [mm]A_4:[/mm]
> det(0)=0, ...
> das heißt nicht pos. definit
Ja.
> Für [mm]A_5:[/mm]
> det(1)=1, [mm]det\pmat{ 1 & 4 \\ 4 & -2 }=-2-8=-10,[/mm] ...
> das heißt nicht pos. definit
Ja.
> Fertig:)
Japp. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Viele Grüße
Gruß
DieAcht
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