Definit. Potenz- Umkehrfunkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
a) [mm] \wurzel[3]{-1}=-1
[/mm]
b) [mm] (-1)^{\bruch{1}{3}}=-1
[/mm]
c) [mm] (-1)^{\bruch{1}{3}}=(-1)^{\bruch{2}{6}}
[/mm]
d) Die Umkehrfunktion von [mm] y=x^{2} [/mm] ist [mm] y=x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
e) Die Umkehrfunktion von [mm] y=x^{3} [/mm] ist [mm] y=x^{\bruch{1}{3}} [/mm] |
Zu a)
(-1)*(-1)*(-1)=-1 Also müsste umgekehrterweise auch [mm] \wurzel[3]{-1}=-1 [/mm] sein
Zu b)
[mm] x^{\bruch{1}{3}} [/mm] ist nur eine andere Schreibweise für [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] und umgekehrt
Zu c)
[mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist zwar dasselbe wie [mm] \bruch{2}{6}, [/mm] dennoch habe ich große Zweifel, ob das so richtig sein kann
Zu d)
Rein rechnerisch würde man das so umwandeln, aber was ist, wenn x negativ ist?
Zu e)
Siehe oben - ist b) überhaupt für negative x definiert?
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> Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
>
> a) [mm]\wurzel[3]{-1}=-1[/mm]
>
> b) [mm](-1)^{\bruch{1}{3}}=-1[/mm]
>
> c) [mm](-1)^{\bruch{1}{3}}=(-1)^{\bruch{2}{6}}[/mm]
Nach der vorherrschenden Auffassung sind
Wurzeln sowie alle Potenzen mit (echt) ge-
brochenen Exponenten nur für [mm] x\ge [/mm] 0 definiert.
Damit erspart man sich Konflikte der Art, wie
sie im Beispiel c) schon "vorprogrammiert" sind.
> d) Die Umkehrfunktion von [mm]y=x^{2}[/mm] ist [mm]y=x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Zur vollständigen Definition einer Funktion
gehört auch die Angabe des Definitionsbereichs.
Die Funktion f: [mm] \IR\to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto x^2
[/mm]
hat keine (eindeutige) Umkehrfunktion.
(Funktionen müssen immer eindeutig sein)
Die Funktion f: [mm] \IR_0^+\to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto x^2
[/mm]
hat die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}:\IR_0^+\to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto \wurzel{x}
[/mm]
und:
Die Funktion f: [mm] \IR_0^-\to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto x^2
[/mm]
hat die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}:\IR_0^+\to \IR [/mm]
[mm] x\mapsto -\wurzel{x}
[/mm]
> e) Die Umkehrfunktion von [mm]y=x^{3}[/mm] ist [mm]y=x^{\bruch{1}{3}}[/mm]
Dies ist nur die "halbe" Umkehrfunktion, für [mm] x\ge [/mm] 0 .
Die "ganze" wäre:
$\ [mm] f^{-1}(x)=\begin{cases} \wurzel[3]{x}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -\wurzel[3]{|x|}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
> Zu a)
> (-1)*(-1)*(-1)=-1 Also müsste umgekehrterweise auch
> [mm]\wurzel[3]{-1}=-1[/mm] sein
Analog argumentiert:
(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=1 Also müsste umgekehrterweise auch
[mm]\wurzel[4]{1}=-1[/mm] sein ..... oder ? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> Zu b)
> [mm]x^{\bruch{1}{3}}[/mm] ist nur eine andere Schreibweise für
> [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] und umgekehrt
Ja. Und beide sind nur für [mm] x\ge [/mm] 0 definiert.
> Zu c)
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ist zwar dasselbe wie [mm]\bruch{2}{6},[/mm] dennoch
> habe ich große Zweifel, ob das so richtig sein kann
Genau mit solchen Ausdrücken kommt man
in Teufels Küche, wenn man die "grosszügigere"
Definition benützen will:
[mm] (-1)^\bruch{1}{3}=\wurzel[3]{-1}= [/mm] -1
[mm] (-1)^\bruch{2}{6}=\wurzel[6]{(-1)^2}=\wurzel[6]{+1}= [/mm] +1
Also [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] = [mm] $\bruch{2}{6} [/mm] $, aber $\ [mm] (-1)^\bruch{1}{3}$ [/mm] ≠ [mm] (-1)^\bruch{2}{6} [/mm] ???
> Zu d)
> Rein rechnerisch würde man das so umwandeln, aber was ist,
> wenn x negativ ist?
>
> Zu e)
> Siehe oben - ist b) überhaupt für negative x definiert?
>
Hallo rabilein,
vor einiger Zeit habe ich den Artikel
 Wurzel
redigiert. Schau mal da nach ! Es gibt allerdings
z.B. Taschenrechner, welche Kubikwurzeln aus
negativen Zahlen trotzdem liefern ...
Gruß al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Do 08.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, deine neu-editierte Fassung drückt das alles sehr klar aus.
Eigenartiger Weise steht so etwas in Schulbüchern nicht so deutlich drin, und wenn man dann die Schüler fragt, was ihr Lehrer zu diesem Thema gesagt hat, dann zucken sie nur die Schulter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Do 08.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke, deine neu-editierte Fassung drückt das alles sehr
> klar aus.
>
> Eigenartiger Weise steht so etwas in Schulbüchern nicht so
> deutlich drin, und wenn man dann die Schüler fragt, was ihr
> Lehrer zu diesem Thema gesagt hat, dann zucken sie nur die
> Schulter.
Mein Lieblingsthema ! Mathematiklehrer und Schulbuchschreiber haben leider sehr häufig von Mathematik keine Ahnung.
Man mag es bedauern, aber ändern kann man es nicht.
FRED
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> Eigenartiger Weise steht so etwas in Schulbüchern nicht so
> deutlich drin, und wenn man dann die Schüler fragt, was ihr
> Lehrer zu diesem Thema gesagt hat, dann zucken sie nur die
> Schulter.
Hallo,
wenn Deine Schüler in diesem Falle mit den Schultern zucken, dann freu Dich!
Meine Nachhilfeschülerin, die sehr beflissen (und übrigens nicht schlecht in Mathe) ist, notiert sich immer alles schön, was in der Schule gemacht wird.
In ihrem Buch (oder war es das Arbeitsblatt?) war vor ein paar Wochen die Aufgabe:
Berechne mit dem Taschrechner:
[mm] \wurzel[4]{6}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{7}
[/mm]
[mm] \wurzel[5]{-9}
[/mm]
[mm] \vdots.
[/mm]
Dahinter hatte sie sich folgende Eintragungen mit Bleistift gemacht:
[mm] \wurzel[4]{6} \qquad \blue{\pm}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{7} \qquad \blue{+}
[/mm]
[mm] \wurzel[5]{-9} \qquad \blue{-}
[/mm]
[mm] \vdots.
[/mm]
Ich habe mich extra vergewissert, ob das ihre eigenen Überlegungen sind. Nein, es war, das, was sie in der Stunde besprochen hatten.
Ich war etwas perplex, und zwar insbesondere wegen " [mm] \wurzel[4]{6} \blue{\pm}".
[/mm]
(Wir haben dann ein wenig gesucht, was im Buch zum Thema Wurzeln steht. Es steht dort alles klar und deutlich (auch zu den Potenzen) - und nach Hinweis auf die entsprechende Seite im Buch zeigte sich die von dem Mädchen nochmal darauf angesprochene Lehrerin einsichtig.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Fr 09.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich war etwas perplex, und zwar insbesondere wegen "
> [mm]\wurzel[4]{6} \blue{\pm}".[/mm]
Das Problem mit der Wurzel liegt meines Erachtens darin, dass da etwas nicht völlig logisch ist.
Aus 1+1=2 lässt sich ohne weiteres schließen, dass 2-1=1
Aus (-1)*(-1)=1 müsste man logischerweise schließen, dass die Wurzel aus Eins lautet: Minus Eins
Welchen Grund gibt es dafür, dass dem nicht so ist??
Mit "Logik" hat das nichts zu tun. Sondern eher damit, dass das mal so festgelegt wurde (von wem eigentlich??)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Fr 09.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Ich war etwas perplex, und zwar insbesondere wegen "
> > [mm]\wurzel[4]{6} \blue{\pm}".[/mm]
>
> Das Problem mit der Wurzel liegt meines Erachtens darin,
> dass da etwas nicht völlig logisch ist.
> Aus 1+1=2 lässt sich ohne weiteres schließen, dass 2-1=1
>
> Aus (-1)*(-1)=1 müsste man logischerweise schließen, dass
> die Wurzel aus Eins lautet: Minus Eins
>
> Welchen Grund gibt es dafür, dass dem nicht so ist??
>
> Mit "Logik" hat das nichts zu tun. Sondern eher damit, dass
> das mal so festgelegt wurde (von wem eigentlich??)
Im Reellen gilt folgendes:
Wurzeln werden nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen und das Ergebnis ist nichtnegativ.
Nur Schullehrer müssen, oft aus Unfähigkeit, ab und zu die Mathematik neu erfinden.
Man muß 2 Dinge sauber auseinanderhalten:
1. Wurzelziehen
und
2. Lösen von Gleichungen.
Beispiel: [mm] \wurzel[]{4} [/mm] = 2. Die Gleichung [mm] x^2 [/mm] = 4 hat hingegen 2 Lösungen: 2 und -2, also [mm] \pm\wurzel[]{4}
[/mm]
FRED
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>
> Im Reellen gilt folgendes:
>
> Wurzeln werden nur aus nichtnegativen Zahlen gezogen und
> das Ergebnis ist nichtnegativ.
>
> Nur Schullehrer müssen, oft aus Unfähigkeit, ab und zu die
> Mathematik neu erfinden.
>
>
> Man muß 2 Dinge sauber auseinanderhalten:
>
> 1. Wurzelziehen
> und
> 2. Lösen von Gleichungen.
>
>
> Beispiel: [mm]\wurzel[]{4}[/mm] = 2. Die Gleichung [mm]x^2[/mm] = 4 hat
> hingegen 2 Lösungen: 2 und -2, also [mm]\pm\ \wurzel{4}[/mm]
>
>
> FRED
Hallo Fred,
ich kenne mittlerweile deine Ansicht über "Schullehrer".
Es gibt solche der Art, wie du sie beschreibst, aber auch
viele andere. Ich zähle manche meiner Kollegen und mich
selber (ich unterrichte mittlerweilen nicht mehr) dazu.
Ich meine, dass die Schreibweise, die du oben eben gerade
selber verwendet hast:
2 Lösungen: 2 und -2, also [mm]\blue{\pm\ \wurzel{4}} [/mm]
ebenso ein Relikt aus der Zeit ist, in der man noch mit
gutem Gewissen schreiben durfte
[mm] $\wurzel{4}\ =\,\pm [/mm] 2$
Es ist meiner Meinung nach nicht viel besser und vor
allem didaktisch eher ungeschickt, zu schreiben:
$\ [mm] x^2=4\ \Rightarrow\ x\,=\ \pm \wurzel{4}\,=\ \pm [/mm] 2$
Damit vermasselt man sich ein Stück weit selber das Ziel,
bei den Schülern den Unterschied zwischen den Aussagen
" $\ x=2\ [mm] \wedge\ [/mm] x=-2$ " und " $\ x=2\ [mm] \vee\ [/mm] x=-2$ "
deutlich zu machen.
Besser:
$\ [mm] x^2=4\ \Rightarrow\ [/mm] |x|\ =\ [mm] \wurzel{4}\ [/mm] =\ 2 \ \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] x=2\ [mm] \vee\ [/mm] x=-2$
Gruß Al-Chw.
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> > Ich war etwas perplex, und zwar insbesondere
> > wegen " [mm]\wurzel[4]{6} \blue{\pm} "\,.[/mm]
>
> Das Problem mit der Wurzel liegt meines Erachtens darin,
> dass da etwas nicht völlig logisch ist.
> Aus 1+1=2 lässt sich ohne weiteres schließen, dass 2-1=1
>
> Aus (-1)*(-1)=1 müsste man logischerweise schließen, dass
> die Wurzel aus Eins lautet: Minus Eins
>
> Welchen Grund gibt es dafür, dass dem nicht so ist??
Mit der gleichen Logik müsste man dann aus der Gleichung
(+1)*(+1)=1 schließen, dass Wurzel aus Eins gleich Plus Eins
Doch dann hat man ein Problem. Die Transitivität
der Identität, also das Gesetz
"Wenn A=B und B=C ist, dann ist A=C" wird man ja
kaum opfern können; hier hätte man aber nun mit
A = -1, B = [mm] \wurzel{1}, [/mm] C = +1 folgende Situation:
A = B und B = C , also A = C , d.h. -1 = +1
Aus der Gleichung -1= +1 könnte man aber durch
Anwendung der Rechenregeln alle beliebigen
Gleichungen beweisen, z.B. 2009 = 0 etc.
Mit anderen Worten: es bliebe höchstens eine
einzige Zahl übrig und auch die Unterscheidung
verschiedener Rechenoperationen würde sinnlos.
Die Mathematik wäre eliminiert ...
> Mit "Logik" hat das nichts zu tun. Sondern eher damit, dass
> das mal so festgelegt wurde (von wem eigentlich??)
Wichtig ist in diesem Zusammenhang der Begriff
der Funktion. Bei einer Funktion f muss zu jedem
x des Definitionsbereiches [mm] D_f [/mm] der Funktionswert f(x)
eindeutig definiert sein. Auch mathematische
Terme wie etwa x-y , [mm] x^2 [/mm] oder [mm] \wurzel{x} [/mm] sind
Funktionen.
Der Term x-y ist eine zweistellige Funktion S(x,y),
welche dem Zahlenpaar (x,y) auf eindeutige Weise
die Differenz x-y zuordnet. Der Term [mm] \wurzel{x} [/mm] ist eine
einstellige Funktion W(x). Um W wirklich eindeutig
zu definieren, natürlich so, dass für alle [mm] x\ge [/mm] 0 gilt:
[mm] (W(x))^2=x
[/mm]
muss man sich entscheiden, welche der beiden
Lösungen [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] der Gleichung [mm] w^2=x [/mm] man nun
als die einzige zugelassene Wurzel nehmen
soll. Dass man dabei die positive Lösung wählt, ist
naheliegend. Möglich wäre aber auch die Festlegung:
" [mm] \wurzel{x} [/mm] ist diejenige nichtpositive Zahl $w$ mit [mm] w^2=x [/mm] "
oder meinetwegen:
[mm] \wurzel{x}=\begin{cases} w_1\ge 0, & \mbox{falls } x \mbox{ rational} \\ w_2< 0, & \mbox{falls } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
Die Konsequenzen für die Rechengesetze wären
wohl eher unangenehm ... 
Das Thema hat aber durchaus auch einen
Mathematik-historischen Aspekt. Sicher etwa bis in die
1960-er Jahre war es an vielen Schulen (inkl.
Hochschulen !) noch gang und gäbe, die Quadrat-
wurzel als "zweiwertige" Funktion zu sehen.
Der Begriff "Wurzel einer Gleichung" wurde früher
synonym zum heutigen Begriff "Lösung einer
Gleichung" verwendet.
Deshalb ist es auch nicht so sehr verwunderlich,
dass es bis heute Lehrer gibt, welche bezüglich
der Definition der Quadratwurzel wenigstens noch
unsicher sind.
Die Forderung, dass Funktionen und insbesondere
Wurzeln strikt eindeutig sein müssen, hat erst im
20. Jahrhundert so richtig Fuss gefasst. Ein Text,
der sich mit diesem und anderen mathematik-
didaktischen Themen sehr eingehend und auch
kritisch auseinandersetzt, ist:
![[]](/images/popup.gif) Zur Entwicklung des Kurvenbegriffs im Mathematikunterricht
Dort findet man z.B. die Feststellung:
Charakteristisch für die Zeit nach den Kleinschen
Reformen waren also im wesentlichen drei Aspekte:
1. Die zentrale Stellung des Funktionsbegriffs für
den gesamten Unterricht, wobei der Funktionsbegriff
anders interpretiert wurde, als dies heute üblich
ist; so wird z. B. von [mm] y^2=x [/mm] bzw. [mm] y=\pm \wurzel{x} [/mm] als
mehrdeutiger Funktion gesprochen. Gerade im
Zusammenhang mit Wurzeln, die zu jener Zeit
noch nicht als die positiven Lösungen einer Gleichung
[mm] x^n=a [/mm] definiert waren, kam es z. B. zu Formulierungen wie:
... [mm] y=\wurzel{x} [/mm] , ..., [mm] y=\wurzel{a^2+x^2}
[/mm]
Diese Funktionen können mehrdeutig sein, z.B. ge-
hören bei [mm] y=\wurzel{x} [/mm] zu jedem x-Werte zwei y-Werte ....
sowie die folgende erheiternde Passage:
So wurde auch noch auf die heute allgemein übliche
Eindeutigkeit der Funktionswerte verzichtet:
[mm] y=\wurzel{x} [/mm] ,
. Diese Funktionen können mehrdeutig
sein, z. B. gehören bei [mm] y=\wurzel{x} [/mm] zu jedem x-Werte
zwei y-Werte ... (REIDT/WOLFF). Bewußt wurde
darauf verzichtet, Eigenschaften von Funktionen,
wie z.B. Unstetigkeiten usw. zu thematisieren, ja
LIETZMANN warnte geradezu davor, Funktionen
wie das Sinusoid oder die Dirichletfunktion zu be-
handeln, ... denn man soll sich ... hüten, solche
pathologischen Dinge als das Normale hinzunehmen.
Gewiß kommen zuweilen auch Kälber mit zwei Köpfen
vor ... aber darum wird es dem Zoologen nicht einfallen,
nun erst den allgemeinen Begriff Kalb mit n Köpfen zu
bilden und dann so nebenbei als einen ganz speziellen
Fall n=1, die Kälber mit einem Kopf, zu behandeln.
Der letzte Satz kann vielleicht auch als ein Argument
für eindeutige Funktionsdefinitionen verstanden werden.
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Sa 10.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Das Thema hat aber durchaus auch einen
> Mathematik-historischen Aspekt. Sicher etwa bis in die
> 1960-er Jahre war es an vielen Schulen (inkl.
> Hochschulen !) noch gang und gäbe, die Quadrat-
> wurzel als "zweiwertige" Funktion zu sehen....
> Deshalb ist es auch nicht so sehr verwunderlich,
> dass es bis heute Lehrer gibt, welche bezüglich
> der Definition der Quadratwurzel wenigstens noch unsicher sind.
Aha, dann liegt darin also der Hase im Pfeffer: Dass es vor etwa 40 Jahren eine "Mathe-Reform" gegeben hat, von der heute allerdings die Wenigsten wissen.
Da lässt sich leicht prognostizieren, was im Jahre 2050 passieren wird:
Es wird dann Lehrer geben, die anstelle von "dass" schreiben werden: "daß" (Irgendwo haben sie das ja so gelesen - ... in Büchern aus dem letzten Jahrhundert = vor Inkrafttreten der "Rechtschreib-Reform"))
Im Zuge der Einsparungen steht bald bereits die nächste Reform ins Haus: die "Buchstaben-Reform". Schreibmaschinen-Tastaturen sollen verkleinert werden - das spart Material.
Hier ein Plädoyer für die Buchstaben-Reform :
Wie aus bisher nicht bestätigter Quelle zu hören ist, will sich die Telekom die Rechte auf das T sichern. Also: das T wird aus der deutschen Sprache gestrichen. Es hieße dann nicht mehr Teebeutel, sondern eebeuel. Sieht irgendwie blöd aus. Also sollte man doch wenigstens das T durch ein D ersetzen, also Deebeudel.
Nadürlich wird es nichd dabei bleiben. Auch andere Firmen werden sich die Rechde an ihrem Buchsdaben sichern wollen. Wie wäre es denn z.B. mid E.on? Also dieses E isd doch auch schon sehr auffällig und könnde leichd durch ein A ersedzd werden.
Vor allam würda das dazu führan, dass nun dia daudscha Spracha ainfachar wird, wail man sdadd sachsundzwanzig Buchsdaban nur noch viarundzwanzig larnan muss.
Am schlimmsdan finda ich abar, dass sich nun auch noch dia Ausländar ainmischan. Basondars dia Amis, dia habans nödig. IBM will sich das I sicharn, und da dia Amis ja schon im ladzdan Kriag so gud mid dan Dürkan zusammangaarbaidad haban, wird das I durch ain Ü arsadzd.
Düa Dürkan würd as nadürlüch frauan, dann so larnan süa düa daudscha Spracha ja auch laüchdar, wann süa das Ü nun dord ganauso ofd vorfündan, wüa ün ührar aüganan Spracha.
Am Anda würd auch noch düa Lufdhansa aünan Anspruch auf das L arhaban (was man ja laüchd durch aün N arsadzan kann), düa Posd had das Monopol auf das P (daraus machan wür aün B) und auch Ford (düa dun was) würd nüchd undädüg blaüban. Wofür gübd as dann das V?
Auv düasa waüsa had man das Anvabadh auv zwanzüg Buchsdaban raduzüard und damüd düa daudscha Sbracha vür anna aünvachar gamachd, düa Vürman das Monobon auv düa rasdnüchan sachs Buchsdaban, washanb as zu kaünan Varwachsnungan mahr kommd, und anna sünd zuvrüadan. Düa naua Ordhogravüa gübd as vorarsd abar nur hüar baü dam Madha-Vorum zu sahan. Abar büs zum Jahra zwaüdausandzwanzüg würd süa dann schrüddwaüsa übarann aüngavührd.
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Kradunadüon !
Üsd das auv daünam aükanan Müst kawachsan ?
(Das K wüa Gazbrom üsd ünzwüschan auch schon wak !)
An-Chwarüzmü wünschd dür aunan schönan Sonndak 
Übrükans: ün Hawaüü komman süa schon nanka müd zwönv Buchsdaban aus ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:31 So 11.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Üsd das auv daünam aükanan Müst kawachsan ?
Ja, der Artikel ist allerdings schon über fünf Jahre alt. Ich hatte ihn damals in der Leselupe veröffentlicht (www.leselupe.de)
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> Der Term x-y ist eine zweistellige Funktion S(x,y),
> welche dem Zahlenpaar (x,y) auf eindeutige Weise
> die Differenz x-y zuordnet. Der Term [mm] \wurzel{x} [/mm] ist eine
> einstellige Funktion W(x). Um W wirklich eindeutig
> zu definieren, natürlich so, dass für alle x gilt:
> [mm] (W(x))^2=x
[/mm]
> muss man sich entscheiden, welche der beiden
> Lösungen [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] der Gleichung [mm] w^2=x [/mm] man nun
> als die einzige zugelassene Wurzel nehmen
> soll. Dass man dabei die positive Lösung wählt, ist
> naheliegend. Möglich wäre aber auch die Festlegung:
" [mm] $\blue{\wurzel{x}}$ [/mm] ist diejenige nichtpositive Zahl w mit [mm] $\blue{w^2=x}$ [/mm] "
Auf dem Planeten Negaterra wird dies (nach unserer
Interpretation) auch genauso gemacht. Nur spricht
dort niemand von "positiven", "negativen" oder
auch "nichtnegativen" oder "nichtpositiven" Zahlen.
Zahlen werden nicht gewertet, sie sind einfach so
wie sie sind. Dort wurde die Multiplikation vor der
Subtraktion erfunden, aber man sah die durch
Multiplikation entstandenen Zahlen als neuartige
Objekte, die ausserhalb des bisherigen Zahlen-
bereichs lagen. Die Rechenmeisterin Eva Zwerg
entdeckte dann, dass man die "gewöhnlichen"
und die Produktzahlen in folgender Weise anein-
ander reihen konnte:
...... 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 ......
blau: gewöhnliche Zahlen , rot: Produktzahlen , wobei z.B.
1*1 = 1 2*3 = 6
Die wichtigste Erkenntnis dabei war die, dass das
erweiterte Zahlensystem nur Sinn machte, wenn
zwischen den gewöhnlichen und den Produktzahlen
ein zusätzliches Element - die Negaterraner nannten
es Nada - eingefügt wurde, das hier grün dargestellt
ist. Schon vor Eva Zwerg war klar, dass man im
Bereich der Produktzahlen ebenso addieren konnte
wie mit gewöhnlichen Zahlen. Für die Feldvermesser
war dies Routine. Sehr gewöhnungsbedürftig war aber
die Entdeckung, dass man auch gemischte Summen
aus normalen und Produkt-Zahlen bilden konnte,
ohne auf Widersprüche zu stossen. Mit der Zeit
zeigte sich aber die Überlegenheit des neuen Zahlen-
systems, denn es wurde jetzt offensichtlich, dass
eine neue Rechenoperation (wir würden sie Subtrak-
tion nennen) sich als sehr nützlich erwies.
Eine mühsam errungene Erkenntnis war die,
dass man auf geheimnisvolle Weise auch die
gewöhnlichen Zahlen als Produktzahlen auffassen
konnte, wenn man noch eine weitere Zahlenart
einführte: die simplen Zahlen. Aus einer einzigen
dieser Zahlen, der "Simplone" $s$ , konnte man
nämlich alle übrigen Zahlen durch die Grundope-
rationen erzeugen. In unserer Sprechweise ent-
spricht die vom Negaterraner Mathematiker-
"Fürsten" B.F. Sauß eingeführte Grundeinheit
$s$ der Zahl [mm] $-\,i$ [/mm] .
Die heutige Mathematik auf Negaterra ist der
irdischen ebenbürtig und in den Grundlagen sogar
isomorph. Nur entsprechen ihre "gewöhnlichen"
Zahlen unseren "negativen" Zahlen und unsere
"positiven" Zahlen ihren Produktzahlen. Da auf
Negaterra (diese Namensgebung stammt nicht
von ihnen selber, sondern von uns Erdenmenschen)
das Wort "negativ" weder in der Mathematik noch
sonst überhaupt vorkommt, führen die Negaterraner
ein glückliches Leben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Mi 07.01.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Also sind a), b) und c) gar nicht definiert.
Mein Taschenrechner gibt bei a) allerdings ein Ergebnis aus, bei b) jedoch nicht.
Und wie ist das dann mit den Umkehrfunktionen?
Wie ist dafür die Definition?
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> Also sind a), b) und c) gar nicht definiert.
Genau.
> Mein Taschenrechner gibt bei a) allerdings ein Ergebnis
> aus, bei b) jedoch nicht.
Dass dies auch je nach Rechner verschieden ist,
zeigt gerade die Problematik ... Rechner sind halt
auch nicht schlauer als ihre Programmierer.
> Und wie ist das dann mit den Umkehrfunktionen?
> Wie ist dafür die Definition?
siehe (ergänzte) vorherige Antwort !
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 09.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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