Def. der Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:39 Di 16.01.2007 | | Autor: | dauwer |
| Aufgabe | | Prüfen Sie mit der Definition von Differenzierbarkeit, ob die Funktionen $$ (1)~ f(x) = cos(x),~(2)~f(x)=ln(x)$$ differenzierbar sind. Stellen Sie dazu den Differenzquotienten [mm] $$\bruch{ \Delta f}{ \Delta x}$$ [/mm] in der Form $$a+O( [mm] \Delta [/mm] x)$$ dar. Hierzu ist in (1) die Verwendung des Additionstheorems hilfreich, in (2) hilft die Darstellung $$x+ [mm] \Delta [/mm] x = x(1+ [mm] \bruch{ \Delta x}{x})$$ [/mm] sowie anschließend in beiden Fällen die passenden Potenzreihen. |
Ich habe diese Aufgabe zu bearbeiten, weiss allerdings überhaupt nicht wie ich da dran gehen soll. Vielleicht kann einer von euch mir einen Ansatz zur Lösung geben.
Danke im Voraus!
dauwer
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> Prüfen Sie mit der Definition von Differenzierbarkeit, ob
> die Funktionen [mm](1)~ f(x) = cos(x),~(2)~f(x)=ln(x)[/mm]
> differenzierbar sind. Stellen Sie dazu den
> Differenzquotienten [mm]\bruch{ \Delta f}{ \Delta x}[/mm] in der
> Form [mm]a+O( \Delta x)[/mm] dar. Hierzu ist in (1) die Verwendung
> des Additionstheorems hilfreich, in (2) hilft die
> Darstellung [mm]x+ \Delta x = x(1+ \bruch{ \Delta x}{x})[/mm] sowie
> anschließend in beiden Fällen die passenden Potenzreihen.
Hallo,
nachdem sich nun mehr als einen Tag niemand gemeldet hat, will ich mich doch mal ganz vorsichtig vorwagen, obgleich "groß o von irgendwas" mir stets Furcht einflößt.
Zum Cosinus
Ich glaube, Du sollst das so machen:
Existiert für alle x [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(x+h)-cos(x)}{(x+h)-x}= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(x+h)-cos(x)}{h} [/mm] ?
Es ist [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{cos(x+h)-cos(x)}{h}= \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-2sin\bruch{2x+h}{2}sin\bruch{h}{2}}{h}
[/mm]
(Mit den Additionstheoremen)
[mm] =-\limes_{h\rightarrow 0}sin\bruch{2x+h}{2}\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2sin\bruch{h}{2}}{h}
[/mm]
[mm] =-\limes_{h\rightarrow 0}sin\bruch{2x+h}{2}\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{sin\bruch{h}{2}}{\bruch{h}{2}}
[/mm]
Der erste Faktor ist einfach aufgrund der Stetigkeit der Sinusfunktion,
und den zweiten Faktor sollst du nun wohl mit der Potenzreihe für [mm] sin\bruch{h}{2} [/mm] und Restgliedabschätzung lösen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 19.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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