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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:54 Do 13.10.2005 | | Autor: | Lambda |
Hallo! Ich habe zwei Aufgaben, mit denen ich überhaupt nicht klar komme und schreibe morgen eine Klausur. Bitte Hilfe!
Aufgabe 1: Die Funktion f ist gegeben durch f(x)= [mm] \bruch{1}{4}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{9}{4}x [/mm] + [mm] \bruch{11}{4} [/mm] . Zeige, dass die Tangenten in den Extrempunkten von f mit dem Graphen von f jeweils Flächen mit gleichem Flächeninhalt einschließen.
Aufgabe 2: Bestimme die Parallele zur 1. Achse, die mit dem Graphen von f(x)= [mm] x^{2} [/mm] eine Fläche mit dem Flächeninhalt [mm] \bruch{8}{3} [/mm] * [mm] \wurzel{2} [/mm] einschließt.
Danke!
Gruß, Lambda
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Hallo Lambda!
> Aufgabe 2: Bestimme die Parallele zur 1. Achse, die mit dem
> Graphen von f(x)= [mm]x^{2}[/mm] eine Fläche mit dem
> Flächeninhalt [mm]\bruch{8}{3}[/mm] * [mm]\wurzel{2}[/mm] einschließt.
Nennen wir unsere Parallele zur x-Achse mal: $g(x) \ = \ a$.
Dann müssen wir uns zunächst die Integrationsgrenzen der betrachteten Fläche ermitteln, die Schnittstellen der beiden Kurven:
[mm] $x^2 [/mm] \ = \ a$ [mm] $\gdw$ $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm \wurzel{a}$
[/mm]
Nun ermitteln wir uns die Fläche durch Integralrechnung:
$A \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{g(x)-f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{a-x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-\wurzel{a}}^{+\wurzel{a}}{a-x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3}\wurzel{2}$
[/mm]
Aus Symmetriegründen gilt: [mm] $\integral_{-\wurzel{a}}^{+\wurzel{a}}{a-x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \red{2}*\integral_{0}^{\wurzel{a}}{a-x^2 \ dx}$
[/mm]
Damit lautet unsere Bestimmungsgleichung also:
[mm] $2*\integral_{0}^{\wurzel{a}}{a-x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{8}{3}\wurzel{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\integral_{0}^{\wurzel{a}}{a-x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}\wurzel{2}$
[/mm]
Kannst Du nun nach $a_$ auflösen?
Kontrollergebnis: $a \ = \ 2$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Lambda!
> Aufgabe 1:
> Die Funktion f ist gegeben durch [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^{3} - \bruch{3}{4}x^{2} - \bruch{9}{4}x + \bruch{11}{4}[/mm] .
> Zeige, dass die Tangenten in den
> Extrempunkten von f mit dem Graphen von f jeweils Flächen
> mit gleichem Flächeninhalt einschließen.
Hast Du Dir denn mal die beiden Extremstellen sowie die zugehörigen Funktionswerte berechnet.
Dann hast Du auch gleich die beiden Geradengleichungen der entsprechenden Tangenten.
Dann musst Du Dir zu jeder Tangente jeweils den zweiten Schnittpunkt mit der Funktion $f(x)_$ berechnen und hast damit für die Integralrechnung die zweite Integrationsgrenze.
Hier nun analog zu Aufgabe 2 die Flächen per Integral berechnen und vergleichen.
Hier mal eine kleine Skizze zur Veranschaulichung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß vom
Roadrunner
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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