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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:25 Mo 06.12.2010 | | Autor: | julig86 |
| Aufgabe | Es seien B = [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] und C = [mm] (c_1,...,c_n) [/mm] geordnete Basen des Vektorraums V.
(a) Zeigen Sie, dass [mm] Mat_B^B(id_V) [/mm] = [mm] 1_n \in Mat_{nxn}(K) [/mm] gilt, wobei [mm] 1_n [/mm] := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 \\ 0 & ... & 0 & 0 & 1 }.
[/mm]
(b) Zeigen Sie, dass [mm] Mat_C^B(id_V) [/mm] * [mm] Mat_B^C(id_V) [/mm] = [mm] 1_n [/mm] und [mm] Mat_C^B(id_V) [/mm] * [mm] Mat_B^C(id_V) [/mm] = [mm] 1_n [/mm] gelten.
(c) Es sei v [mm] \in [/mm] V und es gelte v = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i b_i [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} \mu_j c_j [/mm] für geeignete [mm] \lambda_i,\mu_j \in [/mm] K. Zeigen Sie: [mm] \vektor{\mu_1 \\ \mu_2 \\ ... \\ \mu_n} [/mm] = [mm] Mat_B^C(id_V) [/mm] * [mm] \vektor{\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ ... \\ \lambda_n}. [/mm]
Inwiefern erklärt diese Gleichung, dass die Matrix [mm] Mat_B^C(id_V) [/mm] Basiswechselmatrix von B nach C genannt wird? |
Hey, ich brauche mal wieder eure Hilfe. Super wäre ein für mich nachvollziehbarer Prozess, bei dem ich lerne, wie ich an so eine Aufgabe herangehe. Wir haben an der Uni die Definition einer Darstellungsmatrix behandelt, haben dabei aber immer von zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen aus K geredet. In dieser Aufgabe haben wir ja nur V. Gehe ich nach der Definition, haben wir nun z.B. das Bild des j-ten Basisvektors aus B wie folgt:
[mm] f(V_j) [/mm] = [mm] a_{1j}c_1+a_{2j}c_2+...+a_{nj}c_n [/mm] - richtig?
Dann wären die Koeffizienten [mm] a_{1j} [/mm] usw jeweils die j-te Spalte von [mm] Mat_B^C [/mm] oder?
Was bringt mir das nun für meine Aufgabenstellung? Ich blicke nicht so wirklich durch.
p.s Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Mi 08.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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