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| Aufgabe | | Sei [mm] V=\mathbb C^3 [/mm] der unitäre Standardraum der Dimension 3 und sei [mm] U:=\{x \in V | x_1 + ix_2 - ix_3 =0 \}. [/mm] Bestimme die darstellende Matrix der orthogonalen Projektion von V auf U (bzgl. der Standardbasis). |
In der Lösung steht nun:
"Eine ONB von U ist gegeben durch [mm] u_1= \vektor{0 \\ 1/ \sqrt{2} \\ 1/ \sqrt{2}} [/mm] und [mm] u_2= \vektor{2/ \sqrt{6} \\ i/ \sqrt{6} \\ -i/ \sqrt{6}}".
[/mm]
Meine Frage hier: Warum reichen 2 Vektoren als ONB von U? Ist U nicht von der Dimension 3...?
Weiter gilt, dass eine orthogonale Projektion p:V [mm] \to [/mm] U durch v [mm] \mapsto u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] gegeben ist (steht im Skript).
In der Lösung steht nun: "Dadurch ergibt sich die darstellende Matrix [mm] \pmat{ 2/3 & -i/3 & i/3 \\ i/3 & 2/3 & 1/3 \\ -i/3 & 1/3 & 2/3 }"
[/mm]
Hier ist mir immernoch schleierhaft, wie sich diese 3x3 Matrix zusammensetzt...
Bin für jede Hilfe dankbar!!!
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[mm]U[/mm] ist die Nullstellenmenge einer linearen Gleichung und muß daher die Dimension 2 haben (du kannst ja zwei der Größen [mm]x_1,x_2,x_3[/mm] beliebig vorgeben und die dritte aus der Gleichung errechnen). Das ist wie bei einer Ebenengleichung im dreidimensionalen reellen Raum. Auch dort hat die Ebene die Dimension 2.
Daß die beiden Vektoren [mm]u_1,u_2[/mm] zu [mm]U[/mm] gehören, rechnet man leicht nach, daß sie normiert und zueinander orthogonal sind, ebenso.
Ergänzt man [mm]u_1,u_2[/mm] durch [mm]u_3[/mm] zu einer Orthonormalbasis von [mm]V[/mm], so kann man jedes [mm]x \in V[/mm] bezüglich dieser Basis darstellen:
[mm]x = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2 + \lambda_3 u_3 \ \ \text{mit} \ \ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{C}[/mm]
Dann folgt gemäß Definition von [mm]p[/mm]:
[mm]p(x) = \lambda_1 \, p(u_1) + \lambda_2 \, p(u_2) + \lambda_3 \, p(u_3) = \lambda_1 u_1 + \lambda_2 u_2[/mm]
Die dritte der orthogonalen Komponenten wird also von [mm]p[/mm] verschluckt, während die ersten beiden Komponenten erhalten bleiben. Das zeigt, daß [mm]p[/mm] "die" (nicht: "eine") orthogonale Projektion von [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm] ist.
Um von einer darstellenden Matrix sprechen zu können, muß klar sein, auf welche Basis man sich bezieht. Die Angabe fehlt hier. Mit der kanonischen Basis [mm]e_1, e_2, e_3[/mm] von [mm]V[/mm] scheint es aber zu funktionieren. Die Spalten der Matrix sind gerade [mm]p(e_1), \, p(e_2), \, p(e_3)[/mm].
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