Darstellende Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:35 So 29.03.2009 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung F: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] habe bezügliche der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und des [mm] \IR^2 [/mm] die darstellende Matrix
A = [mm] \pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }
[/mm]
Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
im [mm] \IR^3 [/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
im [mm] \IR^2 [/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}
gewählt wird. |
hi zusammen,
ich hatte bisher folgenden Ansatz.
f(1,0,0) = (7, -16)
Nun in die gewünschte Basis B transformiert lautet das ganze dann:
(7, -16) = x*(8,1,3) + y*(1,1,0) + z*(2,0,1)
also
7 = 8x + y + 2z
-16 = x + y
das dumme ist nun, dass ich hier nun z habe und das LGS ja dann nicht einfach lösbar ist. Oder fällt mein z raus weil die Abbildung ja vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] geht ?
ich nehm mal an das z würde wegfallen dann bekomme ich für x = [mm] \bruch{23}{7} [/mm] und für y = [mm] \bruch{-135}{7}
[/mm]
Das Gleiche halt noch mit f(0,1,0) und f(0,0,1) machen für die Darstellungsmatrix.
Die Frage ist nun ob das stimmt, dass z wirklich rausfällt und ob die Vorgehensweise richtig ist.
MFG
meep
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> Die lineare Abbildung F: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] habe bezügliche
> der Standardbasen des [mm]\IR^3[/mm] und des [mm]\IR^2[/mm] die darstellende
> Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
>
> im [mm]\IR^3[/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
>
> im [mm]\IR^2[/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}
Hallo,
Du machst das falsch bisher.
In die neue Matrix gehören in die Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C.
Ich zeig' Dir für den erstan mal, wie das geht
[mm] f(\vektor{8\\1\\3})=8*\vektor{7\\-16}+\vektor{-10\\23}+3*\vektor{-14\\32}=\vektor{4\\-9} =a_1*\vektor{4\\9}+a_2\vektor{-3\\7}=\vektor{a_1\\a_2}_{(C)}
[/mm]
Dieser Vektor käme in die 1. Spalte der neuen Matrix. Die anderen entsprechend.
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Falls Ihr mit Transformationsmatrizen arbeitet, kannst Du die neue Matrix auch so bekommen:
[mm] _CM_B=(\pmat{ 4 &-3 \\9 &7 })^{-1}*\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }*\pmat{ 8 & 1 & 2\\1 &1& 0\\3&0&1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:35 So 29.03.2009 | | Autor: | meep |
vielen dank, wie ich sehe habe ich die ganze aufgabe sogar falsch verstanden!
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 16:41 Do 02.04.2009 | | Autor: | Kevinus |
> > Die lineare Abbildung F: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] habe bezügliche
> > der Standardbasen des [mm]\IR^3[/mm] und des [mm]\IR^2[/mm] die darstellende
> > Matrix
> >
> > A = [mm]\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }[/mm]
> >
> > Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
> >
> > im [mm]\IR^3[/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
> >
> > im [mm]\IR^2[/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}
>
> Hallo,
>
> Du machst das falsch bisher.
>
> In die neue Matrix gehören in die Spalten die Bilder der
> Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C.
>
> Ich zeig' Dir für den erstan mal, wie das geht
>
> [mm]f(\vektor{8\\1\\3})=8*\vektor{7\\-16}+\vektor{-10\\23}+3*\vektor{-14\\32}=\vektor{4\\-9} =a_1*\vektor{4\\9}+a_2\vektor{\red{-7}\\\red{3}}=\vektor{a_1\\a_2}_{(C)}[/mm]
>
> Dieser Vektor käme in die 1. Spalte der neuen Matrix. Die
> anderen entsprechend.
Ist das wirklch so richtig?
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 19:40 Do 02.04.2009 | | Autor: | angela.h.b. |
> > > A = [mm]\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }[/mm]
> > >
> > > Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
> > >
> > > im [mm]\IR^3[/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
> > >
> > > im [mm]\IR^2[/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}
> [mm]f(\vektor{8\\1\\3})=8*\vektor{7\\-16}+\vektor{-10\\23}+3*\vektor{-14\\32}=\vektor{4\\-9} =a_1*\vektor{4\\9}+a_2\vektor{\red{-7}\\\red{3}}=\vektor{a_1\\a_2}_{(C)}[/mm]
>
> >
> > Dieser Vektor käme in die 1. Spalte der neuen Matrix. Die
> > anderen entsprechend.
>
> Ist das wirklch so richtig?
Hallo,
nein, der rotmarkierte Vektor ist natürlich nicht richtig, da hatte ich einen inzwischen korrigierten Dreher drin, die Transformationsmatrix stimmte jedoch.
Danke für den Hinweis und
Gruß v. Angela
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