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| Aufgabe | Die lineare Abbildung f: [mm] \IR² \to \IR² [/mm] ist durch folgende Matrix gegeben:
[mm] 1/2*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Geben Sie eine Basis A=(v1,v2) von [mm] \IR² [/mm] an, sodass die gegebene Abbildung folgende darstellende Matrix hat:
M(f)= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] |
Hallo! =D
Ich weiß nicht so recht, wie ich die Aufgabe angehen soll. Hat jemand ein Tipp?
Ich hätte jetzt gedacht, dass man ein Gleichungssystem aufstellt mit:
((1/2,1/2))=1*((x,y))+0*((u,w))
((1/2,1/2))=0*((x,y))+0*((u,w))
wobei ((x,y))=v1 und ((u,w))=v2
Aber das lässt sich dann ja nicht lösen, wegen der zweiten Zeile mit der 0, oder?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mi 17.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Die lineare Abbildung f: [mm]\IR² \to \IR²[/mm] ist durch folgende
> Matrix gegeben:
> [mm]1/2*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm]
>
> Geben Sie eine Basis A=(v1,v2) von [mm]\IR²[/mm] an, sodass die
> gegebene Abbildung folgende darstellende Matrix hat:
> M(f)= [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> Hallo! =D
>
> Ich weiß nicht so recht, wie ich die Aufgabe angehen soll.
> Hat jemand ein Tipp?
>
Nennen wir die urspr. Basis [mm] $(e_1, e_2)$, [/mm] dann wird ein beliebiger Vektor [mm] $p\in\IR^2$ [/mm] bzgl. der Basis als [mm] $p=k*e_1+l*e_2$ [/mm] dargestellt, und er wird durch die Abb. abgebildet auf:
[mm] $\frac12(k+l)e_1+\frac12(k+l)e_2$
[/mm]
Den Vektor kann man jetzt bzgl. der neuen Basis schreiben als [mm] $p=r*v_1+s*v_2$ [/mm] und die Matrix bildet ihn ab auf:
[mm] $r*v_1$
[/mm]
Die beiden Matrizen sollen die gleiche lin Abb darstellen, also muß wegen
[mm] $p=k*e_1+l*e_2=r*v_1+s*v_2$
[/mm]
auch gelten
[mm] $\frac12(k+l)(e_1+e_2)=r*v_1$
[/mm]
Jetzt legen wir einfach mal fest [mm] $v_1:=e_1+e_2$ [/mm] und berechnen dann, wie r, s und [mm] $v_2$ [/mm] ausschauen müssen, daß alles stimmt.
ciao
Stefan
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