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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:22 Do 04.06.2009 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,A,\mu) [/mm] ein [mm] \sigma-endlicher [/mm] Maßraum.Seien [mm] f,g:X\to\IR (A,\IB)-messbar [/mm] und [mm] f\le [/mm] g.
Sei [mm] C:=\{(p,u)\in X\times\IR: f(p)\le u \le g(p)\}
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \integral{(g-f) d\mu}=(\mu\otimes\lambda)(C)
[/mm]
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Hallo,
hab folgende Lösungskizze zu obiger Aufgabe, die ich allerdings nicht verstehe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
1.Warum ist [mm] D\in A\otimes \IB [/mm] ? Irgendwie komm ich mit den Produktalgebren nicht zurecht. Vielleicht könnte mir jemand das nochmal erklären. Frage mich auch wo der Unterschied zu der Produktalgebra mit dem [mm] \lambda [/mm] ist.
2. Dasselbe Problem: Weshalb gilt [mm] C\in A\otimes \IB? [/mm]
3. Am Ende wende ich den Satz von Fubini an
Wie ist [mm] \mu\otimes\lambda(C) [/mm] genau definiert ?
Gilt: [mm] \mu\otimes\lambda(C):= \integral(\integral 1_{C}(x,y)\lambda(dy))\mu(dx) [/mm] ? Und wo genau wende ich den Satz v. Fubini an?
Sorry für die dummen Fragen, aber ich hab total den Überblick verloren.
Bin dankbar für jede Hilfe!
Grüße
Fry
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Das C in deiner Aufgabenstellung ist anders als das in der Lösungsskizze! Mir scheint das in der Lösungsskizze richtig zu sein, denn nur mit dem dürfte die geforderte Gleichung gelten.
Mal heuristisch betrachtet - und vielleicht reicht das ja -, was tun wir? Wir nehmen die Menge der Punkte zwischen dem Graphen von f und dem von g (und nennen sie C, jedenfalls in der Lösungsskizze).
Auf der rechten Seite der Gleichung bestimmen wir das Maß dieser Menge und verwenden dazu das Produktmaß aus [mm] \mu [/mm] (für den X-Anteil, wenn man so will) und [mm] \lambda [/mm] (für den [mm] \IR-Anteil). [/mm]
Die linke Seite formuliert dasselbe, nur als Integral (da [mm] f\le [/mm] g ist der Integrand nichtnegativ).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 04.06.2009 | | Autor: | Fry |
danke! hab ich verbessert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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