DGL mit getrennten Veränderlic < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man berechne die Lösung von y`= [mm] \bruch{y log y}{x log x}, [/mm] y(2)=8 |
Aufgabe stammt aus W. kaballo - Einführung in die Analysis II Seite 211 Aufgabe 32.1.
Ich bekomme diese Aufagen zum verrecken nicht hin. Mit ist klar, dass es sich dabei um den Typus I handelt, d.h. DGL mit getrennten Variabken (kein Sonderfall) und durch y'=f(x) g(y) zu lösen ist. Also durch [mm] \integral_{} \bruch{dy}{g(y)} [/mm] = [mm] \integral [/mm] f(x) dx
Bekomme die Stammfunktionen nicht hin. Stehe vollkommen auf´m Schlauch und das schon seit 2 Stunden.
Kann mir jemand helfen?
Lösung der Aufgabe ist laut Buch [mm] y(x)=x^3
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Richtig, man löst mit Trennung der Variablen und kommt auf:
y' = [mm] \bruch{y*ln(y)}{x*ln(x)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{y*ln(y)}{x*ln(x)}
[/mm]
[mm] \gdw \integral{\bruch{1}{y*ln(y)} dy} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x*ln(x)} dx}
[/mm]
Das Integral (nur beispielsweise von x, die Integrale sind ja äquivalent) von dieser Funktion berechnet man mit Substitution von u = ln(x).
/////////SUBSTITUTION///////////
u = ln(x)
u' = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = u'
[mm] \gdw \bruch{du}{u'} [/mm] = dx
[mm] \gdw [/mm] x * du = dx
////////////ENDE//////////////
Es ergibt sich also das Integral:
[mm] \integral{\bruch{1}{x*ln(x)} dx}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{x*u} x * du}
[/mm]
= [mm] \integral{\bruch{1}{u} du}
[/mm]
= ln(u) + c
= ln(ln(x)) + c (Rücksubstitution)
Es ergibt sich also in der ganzen Gleichung:
[mm] \integral{\bruch{1}{y*ln(y)} dy} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x*ln(x)} dx}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(ln(y)) + d = ln(ln(x)) + c
Die Konstanten können zusammengefasst werden zu einer Konstante:
(" a = c - d ")
[mm] \gdw [/mm] ln(ln(y)) = ln(ln(x)) + a | [mm] e^{()}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(y) = [mm] e^{ln(ln(x)) + a}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(y) = ln(x) * [mm] e^{a}
[/mm]
Auch [mm] e^{a} [/mm] ist wieder eine neue Konstante ("b = [mm] e^{a} [/mm] ")
[mm] \gdw [/mm] ln(y) = ln(x) * b | [mm] e^{()}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y = [mm] e^{ln(x) * b}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y = [mm] x^{b}.
[/mm]
Nun ist noch gegeben: y(2) = 8,
in obige Gleichung eingesetzt also
8 = [mm] 2^{b},
[/mm]
woraus b = 3 folgt und somit y eindeutig als y = [mm] x^{3} [/mm] spezifiziert ist.
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Wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sieht.
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