DGL mit Zusatzbedingung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mo 12.02.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL:
[mm] (x^2+1)y' [/mm] + [mm] xy^2=0
[/mm]
Zusatzbedingung: y(1)=2 |
wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor?
ich brauche ja einen homogenen Teil und einen partikulären Teil.
kann mir bitte jemand einen Tipp geben?
MfG
pisty
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 12.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo pisty
Deine Differentialgleichung ist nicht linear. Deshalb gibt es nicht eine homogene Lösung und eine partikuläre Lösung. Dies gilt nur für lineare Differentialgleichungen.
Hingegen ist deine Differentialgleichung separierbar. Du kannst sie daher mit der Methode Trennung der Variablen lösen.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Di 13.02.2007 | | Autor: | pisty |
ich habe die Aufgabe gelöst, soweitt ich kann.
[mm] (x^2+1)y'+xy^2=0
[/mm]
[mm] (x^2+1)\bruch{dy}{dx}=-xy^2
[/mm]
[mm] (x^2+1)dy=-xy^2dx
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{-y^2}=\bruch{x}{x^2+1}dx
[/mm]
wenn ich beide Seiten einzeln integriere erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}ln|x^2+1|+c
[/mm]
wie gehe ich nun weiter vor?
vielen Dank
pisty
P.S: gibt es Seite wo der allgemeine Sachverhalt noch einmal gut erklärt ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 13.02.2007 | | Autor: | moudi |
> ich habe die Aufgabe gelöst, soweitt ich kann.
>
>
> [mm](x^2+1)y'+xy^2=0[/mm]
>
> [mm](x^2+1)\bruch{dy}{dx}=-xy^2[/mm]
>
> [mm](x^2+1)dy=-xy^2dx[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{-y^2}=\bruch{x}{x^2+1}dx[/mm]
>
>
> wenn ich beide Seiten einzeln integriere erhalte ich:
>
>
> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}ln|x^2+1|+c[/mm]
>
>
> wie gehe ich nun weiter vor?
Hallo pisty
Jetzt musst du nur noch nach y auflösen:
[mm] $y(x)=\frac{2}{\ln(x^2+1)+2c}=\frac{2}{\ln(x^2+1)+2c}$
[/mm]
Jetzt kannst du noch die Anfangsbedingung y(2)=1 einsetzen und damit c bestimmen.
Bemerkung: Weil [mm] $x^2+1$ [/mm] sowieso positiv ist, kannst du den Absoluten Betrag im Logarithmus weglassen.
mfG Moudi
>
>
> vielen Dank
>
> pisty
>
> P.S: gibt es Seite wo der allgemeine Sachverhalt noch
> einmal gut erklärt ist?
|
|
|
|
