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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL mit Separation der Var.
DGL mit Separation der Var. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL mit Separation der Var.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Sa 19.11.2011
Autor: Aucuba

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung: (x-3)y'=(y+4)

Hallo Zusammen.
Folgendes habe ich berechnet:
(x-3)y'=(y+4)
[mm] y'=\bruch{y+4}{x+3} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y+4}{x+3} [/mm]
[mm] \bruch{1}{y+4}*dy=\bruch{1}{x+3}*dx [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y+4} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+3} dx} [/mm]
ln(y+4)+d=ln(x+3)+k (y+4 und x+3 sind im Betrag, weiss nicht, wie man die Betragsstriche macht)
ln(y+4)=ln(x+3)+(k-d)   (k-d)=c
[mm] e^{ln(y+4)}=e^{ln(x+3+c)} [/mm]
y+4=x+3+c     [mm] x\ge-3 [/mm] ;   [mm] y\ge-4 [/mm]
y=x-1+c

Ich wäre froh, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Rechnung stimmt.

Vielen Dank!

Gruss
Aucuba

        
Bezug
DGL mit Separation der Var.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Sa 19.11.2011
Autor: Calli


> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden
> Differentialgleichung: (x-3)y'=(y+4)
>  Hallo Zusammen.
>  Folgendes habe ich berechnet:
>  (x-3)y'=(y+4)
>  [mm]y'=\bruch{y+4}{x+3}[/mm]
>  [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y+4} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+3} dx}[/mm]

Wieso jetzt x + 3 ???

> ln(y+4)+d=ln(x+3)+k (y+4 und x+3 sind im Betrag, weiss
> nicht, wie man die Betragsstriche macht)

[mm] $\left| y+4 \right|$ [/mm]

Bezug
                
Bezug
DGL mit Separation der Var.: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 Sa 19.11.2011
Autor: Aucuba

Danke für den Hinweis.
Also das Ganze noch einmal von vorne.
(x-3)y'=(y+4)
[mm] y'=\bruch{y+4}{x-3} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y+4}{x-3} [/mm]
[mm] \bruch{1}{y+4}\cdot{}dy=\bruch{1}{x-3}\cdot{}dx [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y+4} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-3} dx} [/mm]
ln(|y+4|)+d=ln(|x-3|)+k
ln(|y+4|)=ln(|x-3|)+(k-d)   (k-d)=c
[mm] e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|+c)} [/mm]
y+4=x-3+c      [mm] x\ge3 [/mm]  ;   [mm] y\ge-4 [/mm]
y=x-7+c

Ich hoffe jetzt haben sich nicht noch weitere Rechenfehler eingeschlichen.
Danke für Eure Hilfe!

Gruss
Aucuba

Bezug
                        
Bezug
DGL mit Separation der Var.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Sa 19.11.2011
Autor: Calli


> ...
> ln(|y+4|)=ln(|x-3|)+(k-d)   (k-d)=c
>  [mm]e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|+c)}[/mm]
> y+4=x-3+c      [mm]x\ge3[/mm]  ;   [mm]y\ge-4[/mm]

[hot]
gravierender Fehler :
[mm] $e^{a +b} \ne e^a [/mm] + [mm] e^b$ [/mm]

Bezug
                                
Bezug
DGL mit Separation der Var.: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 So 20.11.2011
Autor: Aucuba


> > ...
>  > ln(|y+4|)=ln(|x-3|)+(k-d)   (k-d)=c

>  >  [mm]e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|+c)}[/mm]
> > y+4=x-3+c      [mm]x\ge3[/mm]  ;   [mm]y\ge-4[/mm]
> [hot]
>  gravierender Fehler :
>  [mm]e^{a +b} \ne e^a + e^b[/mm]

Hallo Calli
Danke, da hast du recht.
Stimmt es wenn ich es wie folgt schreibe:
[mm] e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|)+c} [/mm]
[mm] y+4=(x-3)*e^{c} [/mm]

Vielen Dank für die Hilfe!

Gruss
Aucuba

Bezug
                                        
Bezug
DGL mit Separation der Var.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 So 20.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Aucuba,

> > > ...
>  >  > ln(|y+4|)=ln(|x-3|)+(k-d)   (k-d)=c

>  >  >  [mm]e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|+c)}[/mm]
> > > y+4=x-3+c      [mm]x\ge3[/mm]  ;   [mm]y\ge-4[/mm]
> > [hot]
>  >  gravierender Fehler :
>  >  [mm]e^{a +b} \ne e^a + e^b[/mm]
>
> Hallo Calli
>  Danke, da hast du recht.
>  Stimmt es wenn ich es wie folgt schreibe:
>  [mm]e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|)+c}[/mm]
>  [mm]y+4=(x-3)*e^{c}[/mm]
>  


Nicht ganz:

[mm]y+4=C*\left(x-3\right)[/mm]


> Vielen Dank für die Hilfe!
>  
> Gruss
>  Aucuba


Gruss
MathePower

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Bezug
DGL mit Separation der Var.: Ergänzung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 So 20.11.2011
Autor: Calli


> Hallo Calli
>  Danke, da hast du recht.
>  Stimmt es wenn ich es wie folgt schreibe:
>  [mm]e^{ln(|y+4|)}=e^{ln(|x-3|)+c}[/mm]
>  [mm]y+4=(x-3)*e^{c}[/mm]
>  
> Vielen Dank für die Hilfe!
>  
> Gruss
>  Aucuba

[ok] :-)

Hallo Aucuba !

Der von Dir mit der Integrationskonstante C gemachte Fehler lässt sich vermeiden, wenn man wie folgt rechnet:
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y+4} dy}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-3} dx} [/mm] $
=>
[mm] $ln\left| y+4 \right| [/mm] =ln [mm] \left| x-3\right| [/mm] + [mm] ln\, [/mm] C $
=>
[mm] $ln\left| y+4 \right| [/mm] - [mm] ln\, [/mm] C= [mm] ln\left| x-3\right| [/mm] $
=>
$ln [mm] \frac{|y+4|}{C}=ln\left| x-3\right| [/mm] $
=>
[mm] \frac{y+4}{C}=x-3 [/mm]

[mm] \vdots [/mm]

Ciao Calli

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DGL mit Separation der Var.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 So 20.11.2011
Autor: Aucuba

Hallo Calli

Vielen Dank für den Tipp! =) Das werd ich mir merken.

Noch einen schönen Abend wünsch ich Dir.

Gruss
Aucuba


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Bezug
DGL mit Separation der Var.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 So 20.11.2011
Autor: Aucuba

Vielen Dank!

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