www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL lösen, Eigenwerte
DGL lösen, Eigenwerte < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

DGL lösen, Eigenwerte: Korrektur/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Di 29.03.2011
Autor: monstre123

Aufgabe
Geben Sie 3 linear unabhängige lösungen des Differentialgleichungssystems

[mm] y_{1}'=y_{1}-y_{2}+y_{3} [/mm] ,  [mm] y_{2}'=-2y_{2}+y_{3} [/mm]  ,  [mm] y_{3}'=y_{3} [/mm]

an!

Hallo,

hier mein Ansatz:

[mm] \pmat{ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}'}=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]

[mm] det(A-\lambda*E)=det\pmat{ 1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda} [/mm]

Auflösen: [mm] -\lambda^{3}+3*\lambda-2 [/mm] --> [mm] \lambda_{1}=-2 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=1 [/mm]

korrekt bis jetzt oder falscher Ansatz? wie geht es weiter?

Danke.

        
Bezug
DGL lösen, Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Di 29.03.2011
Autor: MathePower

Hallo monstre123,

> Geben Sie 3 linear unabhängige lösungen des
> Differentialgleichungssystems
>  
> [mm]y_{1}'=y_{1}-y_{2}+y_{3}[/mm] ,  [mm]y_{2}'=-2y_{2}+y_{3}[/mm]  ,  
> [mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
>  
> an!
>  Hallo,
>  
> hier mein Ansatz:
>  
> [mm]\pmat{ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}'}=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ 1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}[/mm]
>  
> Auflösen: [mm]-\lambda^{3}+3*\lambda-2[/mm] --> [mm]\lambda_{1}=-2[/mm] ,
> [mm]\lambda_{2}=1[/mm]


Und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] ist doppelter Eigenwert.


>  
> korrekt bis jetzt oder falscher Ansatz? wie geht es
> weiter?


Der Ansatz ist korrekt.

Die Lösung des DGL-Systems kannst Du auch ohne
die Berechnung der Eigenwerte bestimmen.

Da die zu betrachtende Matrix eine rechte obere Dreiecksmatrix ist,
kannst Du mit der DGL

[mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]

beginnen, die allgemeine Lösung zu finden.


>  
> Danke.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
DGL lösen, Eigenwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Di 29.03.2011
Autor: monstre123


> Hallo monstre123,
>  
> > Geben Sie 3 linear unabhängige lösungen des
> > Differentialgleichungssystems
>  >  
> > [mm]y_{1}'=y_{1}-y_{2}+y_{3}[/mm] ,  [mm]y_{2}'=-2y_{2}+y_{3}[/mm]  ,  
> > [mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
>  >  
> > an!
>  >  Hallo,
>  >  
> > hier mein Ansatz:
>  >  
> > [mm]\pmat{ y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}'}=\pmat{ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>  
> >  

> > [mm]det(A-\lambda*E)=det\pmat{ 1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & -2-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda}[/mm]
>  
> >  

> > Auflösen: [mm]-\lambda^{3}+3*\lambda-2[/mm] --> [mm]\lambda_{1}=-2[/mm] ,
> > [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
>  
>
> Und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] ist doppelter Eigenwert.
>  
>
> >  

> > korrekt bis jetzt oder falscher Ansatz? wie geht es
> > weiter?
>  
>
> Der Ansatz ist korrekt.

Was muss ich weiter machen, wenn ich bei diesem Ansatz bleiben möchte? Die Eigenvektoren berechnen, oder?

>  
> Die Lösung des DGL-Systems kannst Du auch ohne
>  die Berechnung der Eigenwerte bestimmen.
>  
> Da die zu betrachtende Matrix eine rechte obere
> Dreiecksmatrix ist,
>  kannst Du mit der DGL
>  
> [mm]y_{3}'=y_{3}[/mm]
>  
> beginnen, die allgemeine Lösung zu finden.
>  
>
> >  

> > Danke.
>
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                        
Bezug
DGL lösen, Eigenwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Di 29.03.2011
Autor: leduart

hallo
ja, eigenvektoren bestimmen.
Gruss leduart


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]