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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung: [mm] xyy'=x^3+xy^2+y^2 [/mm] |
Hallo,
ich weiß leider nicht wie ich die DGL lösen. Ich habe mir nur überlegt dass man, dass durch Substitution lösen könnte.
[mm] xyy'=x^3+xy^2+y^2 [/mm] --> [mm] y'=\bruch{x^2}{y}+y+\bruch{y}{x}
[/mm]
Ich sehe hier aber leider keine Substitution.
Und mit Trennen der Variablen komme ich auch nicht weiter, da dass [mm] x^2 [/mm] stört:
[mm] y'=x^2+\bruch{x+1}{x}*y^2
[/mm]
Wie soll ich das lösen?
Vielen Dank.
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Hallo,
wenn mich nicht alles täuscht, dann hilft dir die Substitution
[mm]z=\bruch{y}{x}[/mm]
hier weiter.
Aber Vorsicht:
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der
> Differenzialgleichung: [mm]xyy'=x^3+xy^2+y^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht wie ich die DGL lösen. Ich habe mir
> nur überlegt dass man, dass durch Substitution lösen
> könnte.
>
> [mm]xyy'=x^3+xy^2+y^2[/mm] --> [mm]y'=\bruch{x^2}{y}+y+\bruch{y}{x}[/mm]
>
> Ich sehe hier aber leider keine Substitution.
> Und mit Trennen der Variablen komme ich auch nicht weiter,
> da dass [mm]x^2[/mm] stört:
>
> [mm]y'=x^2+\bruch{x+1}{x}*y^2[/mm]
in der letzten Version hast du einen Fehler eingebaut, da ist dir das y im Nenner verloren gegangen.
Gruß, Diophant
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Mit der Substitution [mm]u = \frac{1}{2} \left( x^2 + y^2 \right)[/mm] geht die Differentialgleichung über in eine mit getrennten Veränderlichen
[mm]xu' = 2(x+1)u[/mm]
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